Calcular o ângulo formado pelos vetores a e Projb a se a=(3,1) e b=(1,2).

Passo 1

O enunciado dá a=(3,1) e b=(1,2) e pede o ângulo entre a e a projeção de a sobre b.
Conteúdo:
– Projeção de vetores, com fórmula
Projba=acdotbbcdotb;b
– Ângulo theta entre vetores u e v, dado por
costheta=ucdotv|u||v|

Passo 2

Calcular Projba.
acdotb=3cdot1+1cdot2=5,
bcdotb=1^2+2^2=5,
logo
Projba =55,b =b=(1,2)

Passo 3

Como Projba=b, o ângulo pedido é o mesmo entre a e b. Usamos
costheta =acdotb|a||b|

Passo 4

Calcular os comprimentos e o cosseno:
|a|=raiz3^2+1^2=raiz10,
|b|=raiz1^2+2^2=raiz5,
acdotb=5.
Logo
costheta =5raiz10,raiz5 =5raiz50 =1raiz2,
portanto
theta=arccos!l(tfrac1raiz2r)=45^circ

Resposta

O ângulo formado é 45^circ.

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