Questão 1 Seja
o subespaço vetorial de
com as operações usuais.
(a)
Encontre uma base para
.
(b)
Considerando o produto interno usual do espaço
, encontre uma base ortogonal para W.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado define o subespaço
Esta é uma hipersuperfície em
, logo
.
Para (a) precisamos resolver a equação linear e achar três vetores independentes que a satisfaçam.
Para (b) aplicaremos o processo de Gram–Schmidt ao produto interno usual .
Para (a) precisamos resolver a equação linear e achar três vetores independentes que a satisfaçam.
Para (b) aplicaremos o processo de Gram–Schmidt ao produto interno usual
Passo 2
Resolvendo
para
temos
. Assim
Logo uma base de
é
Passo 3
Vamos ortogonalizar
por Gram–Schmidt.
Defina .
Calcule
Defina
Calcule
Então
Para facilitar inteiros, multiplicamos
por
, obtendo
que satisfaz
.
Agora em
subtraímos as projeções sobre
e
.
Logo
Multiplicando por
para ter inteiros, definimos
que satisfaz
e
.
Passo 4
Concluímos que
é uma base ortogonal de
.
Resposta
(a) Uma base para
é
(b) Uma base ortogonal de
para o produto interno usual é