Questão 1 Seja W=(x, y, z, w) in R^4 mid x+2 y+3 z+4 w=0 o subespaço vetorial de R^4 com as operações usuais.
(a) (1,0) Encontre uma base para W.
(b) (1,5) Considerando o produto interno usual do espaço R^4, encontre uma base ortogonal para W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = (x,y,z,w)in R^4 mid x + 2y + 3z + 4w = 0
Esta é uma hipersuperfície em R^4, logo dim W = 3.
Para (a) precisamos resolver a equação linear e achar três vetores independentes que a satisfaçam.
Para (b) aplicaremos o processo de Gram–Schmidt ao produto interno usual lang<= u,vrang<= = u1v1 + cdots + u4v4.

Passo 2

Resolvendo
x + 2y + 3z + 4w = 0
para x temos x = -2y - 3z - 4w. Assim
(x,y,z,w) = y(-2,1,0,0) + z(-3,0,1,0) + w(-4,0,0,1)
Logo uma base de W é
v1 = (-2,1,0,0), v2 = (-3,0,1,0), v3 = (-4,0,0,1)

Passo 3

Vamos ortogonalizar v1,v2,v3 por Gram–Schmidt.
Defina u1 = v1.
Calcule
lang<= v2, u1rang<= = (-3)(-2) + 0cdot1 + 1cdot0 + 0cdot0 = 6, lang<= u1,u1rang<= = (-2)^2 + 1^2 =5
Então
u2 = v2 - lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = (-3,0,1,0) - 65(-2,1,0,0) = l(-tfrac31+tfrac125,,-tfrac65,1,0r) = l(-tfrac35,-tfrac65,1,0r)
Para facilitar inteiros, multiplicamos u2 por 5, obtendo
u2' = (-3,-6,5,0),
que satisfaz lang<= u2',u1rang<==0.
Agora em v3 subtraímos as projeções sobre u1 e u2'.
lang<= v3,u1rang<= = (-4)(-2)=8, lang<= v3,u2'rang<= = (-4)(-3)+0+0+1cdot0 =12,
lang<= u2',u2'rang<= = (-3)^2+(-6)^2+5^2=70
Logo
u3 = v3 - 85u1 - 1270u2' = (-4,0,0,1) - tfrac85(-2,1,0,0) - tfrac635(-3,-6,5,0) = l(-tfrac27,-tfrac47,-tfrac67,1r)
Multiplicando por 7 para ter inteiros, definimos
u3' = (-2,-4,-6,7),
que satisfaz lang<= u3',u1rang<==0 e lang<= u3',u2'rang<==0.

Passo 4

Concluímos que
u1,,u2',,u3' = (-2,1,0,0),;(-3,-6,5,0),;(-2,-4,-6,7)
é uma base ortogonal de W.

Resposta

(a) Uma base para W é
(-2,1,0,0),;(-3,0,1,0),;(-4,0,0,1)
(b) Uma base ortogonal de W para o produto interno usual é
(-2,1,0,0),;(-3,-6,5,0),;(-2,-4,-6,7)

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