Sejam os vetores a e b de R^2 que formam um ângulo de pi3 e tem comprimentos |a|=2,|b|=4. Calcular o cosseno do ângulo formado pelos vetores a+b e a-b.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores a,binR^2 tais que o ângulo entre eles é tfracpi3 e os módulos são lvertarvert=2 e lvertbrvert=4. Pede-se o cosseno do ângulo entre a+b e a-b. Para resolver, vamos usar produto escalar e as fórmulas
  1. ucdotv=lverturvert,lvertvrvertcostheta,
  2. costheta=dfracucdotvlverturvert,lvertvrvert.

Passo 2

Aplicamos diretamente
cosphi =(a+b)cdot(a-b) lverta+brvert;lverta-brvert,,
onde phi é o ângulo entre a+b e a-b.

Passo 3

Calculamos o produto escalar no numerador:
(a+b)cdot(a-b) =acdota-acdotb+bcdota-bcdotb =lvertarvert^2-lvertbrvert^2 =2^2-4^2=-12

Passo 4

Agora o módulo de a+b:
lverta+brvert^2 =lvertarvert^2+lvertbrvert^2+2,acdotb =4+16+2,(2cdot4costfracpi3) =20+2cdot8=28,
logo lverta+brvert=raiz28

Passo 5

O módulo de a-b:
lverta-brvert^2 =lvertarvert^2+lvertbrvert^2-2,acdotb =4+16-2cdot8=12,
logo lverta-brvert=raiz12

Passo 6

Substituindo em cosphi:
cosphi =-12raiz28,raiz12 =-12raiz336 =-124raiz21 =-3raiz21 =-raiz217

Resposta

cosphi=-3raiz21 l(,=-tfracraiz217r)

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