Calcule as integrais abaixo: integralpi2^pi 25+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integralpi2^pi25+x^2,dx. Esse é um caso de integração de uma função racional simples, e vamos usar a primitiva que leva a arctan.

Passo 2

Para achar a primitiva, lembramos que integraldxa^2+x^2=1aarctan x a+C. Como 5=(raiz5)^2, podemos escrever
integral25+x^2,dx=2integraldx(raiz5)^2+x^2=2raiz5arctanxraiz5+C

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e substituímos os limites na primitiva:
integralpi2^pi25+x^2,dx=[2raiz5arctanl(xraiz5r)]pi2^pi=2raiz5l(arctanpiraiz5-arctanpi2raiz5r)

Resposta

\frac{2}{\sqrt5}\Bigl(\arctan\frac{\pi}{\sqrt5}-\arctan\frac{\pi}{2\sqrt5}\Bigr)

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