- Determinar o comprimento de arco da seguinte curva:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o comprimento de arco da curva dada pela função
no intervalo
(no eixo
).\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é
.\n - O intervalo para
é .\n - Queremos o comprimento da curva entre os pontos correspondentes a
e .
Passo 2
Qual é a fórmula que usamos para comprimento de arco?\n
Se temos uma função diferenciável em
, o comprimento de arco
da curva
de
até
é dado por
Se temos uma função
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: para um pequeno incremento
ao longo do eixo
, a variação correspondente em
é
. O comprimento do pequeno segmento é aproximadamente a hipotenusa do triângulo retângulo formado por
e
, ou seja
. Integrando esses pequenos comprimentos ao longo de
obtém-se o comprimento total.
Passo 3
Calcule a derivada da função dada, porque ela entra na fórmula.\n
Temos . A derivada
(ou
) é a taxa de variação de
em relação a
. Para uma função linear
, a derivada é a constante
.\n
Logo,
Temos
Logo,
Passo 4
Substitua
na fórmula do comprimento de arco e calcule a integral.\n
A integranda fica , que é uma constante. Portanto
A integranda fica
Passo 5
Checagem geométrica (útil para ganhar confiança):\n
Os pontos finais da curva são:
Os pontos finais da curva são:
A distância euclidiana entre
e
é
o que confirma o resultado obtido pela integral (esperado, já que a curva é uma reta).