1. Determinar o comprimento de arco da seguinte curva:
y=5 x-2,-1 \leq x \leq 1(\text { eixo } x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o comprimento de arco da curva dada pela função y=5x-2 no intervalo -1 \leq x \leq 1 (no eixo x).\n
Informações relevantes dadas:
  • A função é y=5x-2.\n
  • O intervalo para x é [-1,\,1].\n
  • Queremos o comprimento da curva entre os pontos correspondentes a x=-1 e x=1.

Passo 2

Qual é a fórmula que usamos para comprimento de arco?\n
Se temos uma função y=f(x) diferenciável em [a,b], o comprimento de arco L da curva y=f(x) de x=a até x=b é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: para um pequeno incremento \,dx ao longo do eixo x, a variação correspondente em y é dy=f'(x)\,dx. O comprimento do pequeno segmento é aproximadamente a hipotenusa do triângulo retângulo formado por dx e dy, ou seja \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+(dy/dx)^{2}}\,dx. Integrando esses pequenos comprimentos ao longo de x obtém-se o comprimento total.

Passo 3

Calcule a derivada da função dada, porque ela entra na fórmula.\n
Temos y=5x-2. A derivada y' (ou \dfrac{dy}{dx}) é a taxa de variação de y em relação a x. Para uma função linear y=mx+b, a derivada é a constante m.\n
Logo,
y'=5.

Passo 4

Substitua y' na fórmula do comprimento de arco e calcule a integral.\n
A integranda fica \sqrt{1+(y')^{2}}=\sqrt{1+5^{2}}=\sqrt{26}, que é uma constante. Portanto
L=\int_{-1}^{1}\sqrt{26}\,dx=\sqrt{26}\int_{-1}^{1}dx=\sqrt{26}\bigl[x\bigr]_{-1}^{1}=\sqrt{26}\bigl(1-(-1)\bigr)=2\sqrt{26}.

Passo 5

Checagem geométrica (útil para ganhar confiança):\n
Os pontos finais da curva são:
\text{para }x=-1:\quad y=5(-1)-2=-7,
\text{para }x=1:\quad y=5(1)-2=3.
A distância euclidiana entre (-1,-7) e (1,3) é
\sqrt{(1-(-1))^{2}+(3-(-7))^{2}}=\sqrt{2^{2}+10^{2}}=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}=2\sqrt{26},
o que confirma o resultado obtido pela integral (esperado, já que a curva é uma reta).

Resposta

2\sqrt{26}

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