Calcular a área limitada pela curva dada.
r^2=16 cos 2 theta

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva em coordenadas polares dada por r^2=16cos2theta. O conteúdo principal é o uso da fórmula de área em coordenadas polares e a identificação do intervalo de ângulos em que a curva está definida.

Passo 2

Para que r seja real, precisamos ter r^2>=0, ou seja, cos2theta>=0. Isso ocorre quando
-pi4<=theta<=pi4e 3pi4<=theta<=5pi4 Cada um desses intervalos corresponde a um lóbulo da lemniscata. Vamos primeiro calcular a área de um lóbulo, no intervalo -tfracpi4,,tfracpi4.

Passo 3

Em coordenadas polares, a área de um lóbulo é dada por
Alóbulo=12integral-pi/4^pi/4r^2,dtheta =12integral-pi/4^pi/416cos2theta,dtheta óFazendo a integração:
[
A_{lóbulo}=8\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos2\theta,d\theta
=8\Bigl[\frac{1}{2}\sin2\theta\Bigr]_{-\pi/4}^{\pi/4}
=4\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)
=4(1-(-1))=8.

Passo 4

Como há dois lóbulos iguais, a área total é o dobro:
Atotal=2times8=16

Resposta

16

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