Calcular a área limitada pela curva dada.
Passo 1
O enunciado pede a área limitada pela curva em coordenadas polares dada por
. O conteúdo principal é o uso da fórmula de área em coordenadas polares e a identificação do intervalo de ângulos em que a curva está definida.
Passo 2
Para que
seja real, precisamos ter
, ou seja,
. Isso ocorre quando
Passo 3
Em coordenadas polares, a área de um lóbulo é dada por
[
A_{lóbulo}=8\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos2\theta,d\theta
=8\Bigl[\frac{1}{2}\sin2\theta\Bigr]_{-\pi/4}^{\pi/4}
=4\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)
=4(1-(-1))=8.
A_{lóbulo}=8\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos2\theta,d\theta
=8\Bigl[\frac{1}{2}\sin2\theta\Bigr]_{-\pi/4}^{\pi/4}
=4\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)
=4(1-(-1))=8.
Passo 4
Como há dois lóbulos iguais, a área total é o dobro:
Resposta
16