Calcular a área da região entre as curvas:
(a) 2 r=3 e r=3 sen theta;
(b) 2 r=3 e r=1+cos theta.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares. O conteúdo é integração em polares, usando a fórmula A=12integraltheta1^theta2(rexterno^2 - rinterno^2),dtheta Vamos precisar achar os pontos de interseção (onde os raios coincidem), decidir qual curva é exterior em cada intervalo de theta e calcular a integral.

Passo 2

Para (a) 2r=3 e r=3,sen,\theta: encontramos os pontos de interseção resolvendo 3/2=3sintheta, daí sintheta=1/2 e theta=pi/6,5pi/6.

Passo 3

Ainda em (a), avaliamos qual curva é exterior em [pi/6,5pi/6]. Como 3sintheta>=3/2 nesse intervalo, temos r_externo=3\sin\theta e r_interno=3/2. Logo
Aa=12integralpi/6^5pi/6l((3sintheta)^2-(3/2)^2r),dtheta

Passo 4

Calculamos a integral de (a): expandindo e usando sin^2theta=(1-cos2theta)/2, obtemos
Aa=12integralpi/6^5pi/6l(9sin^2theta-tfrac94r)dtheta =12l(3pi/2+tfrac9raiz34r) =3pi4+9raiz38

Passo 5

Para (b) 2r=3 e r=1+\cos\theta: primeiro achamos interseção em 3/2=1+costheta gerando costheta=1/2 e theta=pmpi/3 (ou seja, theta=-pi/3 e pi/3).
Em (b) a região comum é definida por r<=min(3/2,1+costheta). Percebemos que em [-pi/3,pi/3] vale 1+costheta>=3/2, então ali r_interno vai até 3/2; e em [pi/3,5pi/3] vale 1+costheta<=3/2, então r_interno vai até 1+costheta.

Passo 6

Assim a área de (b) fica soma de duas integrais:
$$A_b=\frac12\int_{-\pi/3}{\pi/3}\Bigl(\tfrac32\Bigr)2d\theta
+\frac12\int_{\pi/3}{5\pi/3}(1+\cos\theta)2d\theta.$$

Passo 7

Computando cada parte:
Primeiro termo: 12cdot94cdot2pi3=3pi4
Segundo termo: expandindo (1+costheta)^2=1+2costheta+cos^2theta e integrando de pi/3 a 5pi/3, obtemos pi-tfrac9raiz38.

Passo 8

Somando:
$$A_b=\frac{3\pi}4+\Bigl(\pi-\frac{9\sqrt3}8\Bigr)
=\frac{7\pi}4-\frac{9\sqrt3}8.$$

Resposta

a) A=3pi4+9raiz38
b) A=7pi4-9raiz38

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