Calcular a área da região entre as curvas:
(a)
e
;
(b)
e
.
(a)
(b)
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares. O conteúdo é integração em polares, usando a fórmula
Vamos precisar achar os pontos de interseção (onde os raios coincidem), decidir qual curva é exterior em cada intervalo de
e calcular a integral.
Passo 2
Para (a) 2r=3 e r=3,sen,\theta: encontramos os pontos de interseção resolvendo
, daí
e
.
Passo 3
Ainda em (a), avaliamos qual curva é exterior em
. Como
nesse intervalo, temos r_externo=3\sin\theta e r_interno=3/2. Logo
Passo 4
Calculamos a integral de (a): expandindo e usando
, obtemos
Passo 5
Para (b) 2r=3 e r=1+\cos\theta: primeiro achamos interseção em
gerando
e
(ou seja,
e
).
Em (b) a região comum é definida por . Percebemos que em
vale
, então ali r_interno vai até 3/2; e em
vale
, então r_interno vai até
.
Em (b) a região comum é definida por
Passo 6
Assim a área de (b) fica soma de duas integrais:
$$A_b=\frac12\int_{-\pi/3}{\pi/3}\Bigl(\tfrac32\Bigr)2d\theta
+\frac12\int_{\pi/3}{5\pi/3}(1+\cos\theta)2d\theta.$$
Passo 7
Computando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo: expandindo e integrando de
a
, obtemos
.
Primeiro termo:
Segundo termo: expandindo
Passo 8
Somando:
$$A_b=\frac{3\pi}4+\Bigl(\pi-\frac{9\sqrt3}8\Bigr)
=\frac{7\pi}4-\frac{9\sqrt3}8.$$
Resposta
a)
b)
b)