Calcular a área limitada pela curva dada.
r=4(I-cos theta)

Passo 1

Temos a curva em coordenadas polares dada por r=4(1-costheta). O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula geral da área: A = 12 integralalpha^beta r^2 ,dtheta

Passo 2

Escrevendo a área para theta de 0 até 2pi:
A = 12 integral0^2pi l[4(1-costheta)r]^2 ,dtheta

Passo 3

Expandindo o integrando:
r^2 = 16(1-costheta)^2 = 16l(1 - 2costheta + cos^2thetar)
Logo,
A = 8 integral0^2pi l(1 - 2costheta + cos^2thetar) ,dtheta

Passo 4

Agora separamos a integral em três partes:
integral0^2pi1,dtheta = 2pi, integral0^2picostheta,dtheta = 0, integral0^2picos^2theta,dtheta = pi
Portanto,
A = 8l(2pi - 2cdot 0 + pir) = 8cdot 3pi

Passo 5

Chegamos ao valor da área da região fechada pela curva.

Resposta

24\pi

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