Faça uma mudança de variável para calcular a integral indefinida.
(e) integral x^3(1-2 x^4)^5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^3(1-2x^4)^5,dx usando mudança de variável. Vamos precisar da técnica de substituição u-substitution para funções compostas, ou seja, escolher u como a parte interna de uma potência e reescrever dx em termos de du.

Passo 2

Escolhemos a substituição apropriada para simplificar a integral. Seja
u = 1 - 2x^4

Passo 3

Diferenciando em relação a x, temos
du = ddx(1 - 2x^4),dx = -8x^3,dx
ou seja,
x^3,dx = -18,du

Passo 4

Substituindo u e x^3,dx na integral original transformamos
integral x^3(1-2x^4)^5,dx = integral -tfrac18,duu^5 = -18 integral u^-5,du

Passo 5

Agora é só integrar a potência de u. Recordando que
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C (nneq -1),

Passo 6

aplicamos com n=-5:
-18 integral u^-5,du = -18 cdot u^-4-4 + C = 132u^-4 + C

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original x substituindo u = 1 - 2x^4. Então a resposta é
132(1 - 2x^4)^-4 + C

Resposta

132(1 - 2x^4)^-4 + C

Exercícios relacionados