Encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
Passo 1
A gente tem a curva em coordenadas polares r(θ)=4 cos 4θ. O conteúdo é comprimento de curva em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula que diz que
Passo 2
Vamos calcular a derivada de r em relação a θ. Como r(θ)=4 cos 4θ, usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora substituímos r(θ) e r’(θ) na fórmula do comprimento, tomando θ de 0 a 2π para cobrir todas as 8 pétalas da curva:
Podemos simplificar o integrando:
Passo 4
Logo, a integral que dá o comprimento total é
Resposta
L=\displaystyle\int_{0}{2π}\sqrt{16\cos2 4θ+256\sin^2 4θ},dθ