Encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
r=4 cos 4 theta

Passo 1

A gente tem a curva em coordenadas polares r(θ)=4 cos 4θ. O conteúdo é comprimento de curva em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula que diz que
L=integralθ1^θ2raizr(θ)^2+l(r'(θ)r)^2,dθ

Passo 2

Vamos calcular a derivada de r em relação a θ. Como r(θ)=4 cos 4θ, usando a regra da cadeia:
r'(θ)=-16,sin4θ

Passo 3

Agora substituímos r(θ) e r’(θ) na fórmula do comprimento, tomando θ de 0 a 2π para cobrir todas as 8 pétalas da curva:
L=integral0^2πraiz(4cos4θ)^2+(-16sin4θ)^2,dθ
Podemos simplificar o integrando:
(4cos4θ)^2+(-16sin4θ)^2=16cos^2 4θ+256sin^2 4θ

Passo 4

Logo, a integral que dá o comprimento total é
L=integral0^2πraiz16cos^2 4θ+256sin^2 4θ,dθ

Resposta

L=\displaystyle\int_{0}{2π}\sqrt{16\cos2 4θ+256\sin^2 4θ},dθ

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