Determinar as seguintes integrais impróprias e classifique-as:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a integral imprópria e classificá‑la. As informações dadas são:
- A integral é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, o limite superior é infinito. - A função integranda é
.
Passo 2
Explicar o que significa integral imprópria neste caso. Como o intervalo é infinito, definimos a integral como um limite:
Isto transforma a integral imprópria numa família de integrais próprias dependentes de
; avaliaremos a primitiva e depois o limite quando
.
Passo 3
Calcular a primitiva (antiderivada) de
. Usamos a regra da potência: para
,
Aqui
, logo
e
(Explicando rápido: multiplicar por
e elevar
a
.)
Passo 4
Avaliar a integral definida de
a
usando a primitiva encontrada:
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto o valor da integral cresce sem limite: diverge para
.
Passo 5
Complemento prático (útil na prova): o teste-p para integrais do tipo
diz que a integral converge se, e somente se,
. No nosso caso
, então pela regra geral também concluímos que a integral diverge. Exemplo rápido para fixar: se tivéssemos
(
) essa converge.
Classificação final: trata‑se de uma integral imprópria por intervalo infinito (primeiro tipo) e ela é divergente — mais precisamente diverge para . Força aí: a ideia chave é reescrever como
, usar a primitiva
e observar o comportamento quando
.
Classificação final: trata‑se de uma integral imprópria por intervalo infinito (primeiro tipo) e ela é divergente — mais precisamente diverge para