Determinar as seguintes integrais impróprias e classifique-as:
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a integral imprópria e classificá‑la. As informações dadas são:
  • A integral é \displaystyle \int_{2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.
  • O intervalo de integração é [2,\infty), ou seja, o limite superior é infinito.
  • A função integranda é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}=\;x^{-1/2}.

Passo 2

Explicar o que significa integral imprópria neste caso. Como o intervalo é infinito, definimos a integral como um limite:
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{2}^{b} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.
Isto transforma a integral imprópria numa família de integrais próprias dependentes de b; avaliaremos a primitiva e depois o limite quando b\to\infty.

Passo 3

Calcular a primitiva (antiderivada) de \displaystyle x^{-1/2}. Usamos a regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, logo n+1=\tfrac{1}{2} e
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2}+C = 2x^{1/2}+C = 2\sqrt{x}+C.
(Explicando rápido: multiplicar por 1/(n+1) e elevar x a n+1.)

Passo 4

Avaliar a integral definida de 2 a b usando a primitiva encontrada:
\int_{2}^{b} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left[2\sqrt{x}\right]_{2}^{b} = 2\sqrt{b}-2\sqrt{2}.
Agora tomamos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty} \big(2\sqrt{b}-2\sqrt{2}\big) = 2\cdot\lim_{b\to\infty}\sqrt{b} - 2\sqrt{2} = +\infty.
Portanto o valor da integral cresce sem limite: diverge para +\infty.

Passo 5

Complemento prático (útil na prova): o teste-p para integrais do tipo \displaystyle \int_{a}^{\infty} x^{-p}\,dx diz que a integral converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=\tfrac{1}{2}<1, então pela regra geral também concluímos que a integral diverge. Exemplo rápido para fixar: se tivéssemos \displaystyle \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}\,dx ( p=\tfrac{3}{2}>1) essa converge.
Classificação final: trata‑se de uma integral imprópria por intervalo infinito (primeiro tipo) e ela é divergente — mais precisamente diverge para +\infty. Força aí: a ideia chave é reescrever como x^{-1/2}, usar a primitiva 2\sqrt{x} e observar o comportamento quando x\to\infty.

Resposta

\displaystyle \int_{2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = +\infty (diverge)

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