Calcular a área limitada pela curva dada.
r=3 sen 2 theta

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva polar r=3sen2theta. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula
A=12integral r(theta)^2,dtheta
e precisamos determinar o intervalo de theta que cobre toda a curva.

Passo 2

A curva r=3sen2theta é uma rosa de 4 pétalas (pois n=2 é par, gerando 2n=4 pétalas). Cada pétala aparece entre dois zeros de sen2theta, por exemplo de theta=0 a theta=tfracpi2. Vamos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar por 4.

Passo 3

A área de uma pétala é
Apétala=12integral0^pi/2l(3sen2thetar)^2,dtheta é
Usando sen^2x=tfrac1-cos2x2, temos
[
A_{pétala}=\frac{9}{2}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos4\theta}{2},d\theta
=\frac{9}{4}\int_{0}^{\pi/2}(1-\cos4\theta),d\theta
=\frac{9}{4}\Bigl[\theta-\tfrac{\sin4\theta}{4}\Bigr]_{0}^{\pi/2}
=\frac{9}{4}\cdot\frac{\pi}{2}
=\frac{9\pi}{8}.

Passo 4

Como há 4 pétalas iguais, a área total é
Atotal=4times Apétala=4times9pi8=9pi2 é

Resposta

dfrac9pi2

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