Calcular a área limitada pela curva dada.
Passo 1
O enunciado pede a área limitada pela curva polar
. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula
e precisamos determinar o intervalo de
que cobre toda a curva.
Passo 2
A curva
é uma rosa de 4 pétalas (pois
é par, gerando
pétalas). Cada pétala aparece entre dois zeros de
, por exemplo de
a
. Vamos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar por 4.
Passo 3
A área de uma pétala é
Usando
, temos
[
A_{pétala}=\frac{9}{2}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos4\theta}{2},d\theta
=\frac{9}{4}\int_{0}^{\pi/2}(1-\cos4\theta),d\theta
=\frac{9}{4}\Bigl[\theta-\tfrac{\sin4\theta}{4}\Bigr]_{0}^{\pi/2}
=\frac{9}{4}\cdot\frac{\pi}{2}
=\frac{9\pi}{8}.
A_{pétala}=\frac{9}{2}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos4\theta}{2},d\theta
=\frac{9}{4}\int_{0}^{\pi/2}(1-\cos4\theta),d\theta
=\frac{9}{4}\Bigl[\theta-\tfrac{\sin4\theta}{4}\Bigr]_{0}^{\pi/2}
=\frac{9}{4}\cdot\frac{\pi}{2}
=\frac{9\pi}{8}.
Passo 4
Como há 4 pétalas iguais, a área total é