Encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
r=3+2 cos theta

Passo 1

O enunciado pede o comprimento total da curva em coordenadas polares dada por r(θ)=3+2 cos θ. O conteúdo é comprimento de arco em coordenadas polares e vamos usar a fórmula
L=integraltheta1^theta2raizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Vamos calcular a derivada de r em relação a θ:
r(theta)=3+2costheta
r'(theta)=-2sintheta

Passo 3

Agora montamos o integrando:
r(theta)^2+l(r'(theta)r)^2=(3+2costheta)^2+(-2sintheta)^2
Desenvolvendo:
(3+2costheta)^2+4sin^2theta=9+12costheta+4cos^2theta+4sin^2theta
Como cos^2theta+sin^2theta=1, isso vira
9+12costheta+4=13+12costheta

Passo 4

O percurso completo da curva corresponde a θ variando de 0 a 2π. Logo, a integral que dá o comprimento total é

Passo 5

Resposta

L=integral0^2piraiz13+12costheta,dtheta

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