Dadas as funções abaixo, esboce o gráfico e encontre, se existirem, os limites nos valores indicados. lim x 0 f(x) ?
Passo 1
Temos uma função por partes definida como
f(x)= 1+sin(x), & x<0, cos(x), & 0<= x=pi
O objetivo é esboçar o gráfico dessa função e calcular limxto0f(x). Para resolver, vamos usar conceitos de gráfico de funções trigonométricas e definição de limite lateral.
Passo 2
Para esboçar o gráfico, vamos analisar cada trecho:
Para x<0, f(x)=1+sin(x). É o gráfico do seno deslocado 1 unidade para cima, com ponto aberto em x=0 onde f(0^-)=1+sin(0)=1.
Para 0<= x, f(x)=cos(x). É a curva do cosseno partindo de cos(0)=1 (ponto fechado em x=0) até o valor cos(pi)=-1 (ponto aberto em x=pi).
Para x>=pi, f(x)=sin(x). É o gráfico do seno começando em x=pi com ponto fechado em sin(pi)=0 e seguindo para a direita.
Passo 3
Agora vamos usar o conceito de limite: para limxto0f(x) existir, os limites laterais devem existir e ser iguais.
Limite pela esquerda (xto0^-): como f(x)=1+sin(x), temos
limxto0^-f(x)=1+sin(0)=1+0=1
Limite pela direita (xto0^+): como f(x)=cos(x), temos
limxto0^+f(x)=cos(0)=1
Passo 4
Como os limites laterais são iguais (ambos valem 1), concluímos que o limite existe e é 1.