Use integração por partes (em alguns casos, sucessivas integrações por partes) para calcular a integral indefinida.
(g) integral x^3 ln (x^2) d x

Passo 1

Começamos com a integral integral x^3 ln(x^2),dx. O conteúdo aqui é integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos precisar escolher adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = ln(x^2), dv = x^3,dx
Logo calculamos
$$
du = \frac{d}{dx}\ln(x^2),dx = \frac{2}{x},dx,
\quad v = \int x^3,dx = \frac{x^4}{4}.
$$

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes temos
integral x^3ln(x^2),dx = u,v - integral v,du = x^44ln(x^2) - integral x^44cdot2x,dx

Passo 4

No integrando restante simplificamos:
x^44cdot2x = x^32,
portanto
integral x^44cdot2x,dx = 12integral x^3,dx = 12cdotx^44 = x^48

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos a primitiva
integral x^3ln(x^2),dx = x^44ln(x^2) - x^48 + C
Opcionalmente, usando ln(x^2)=2ln|x|, dá-se
x^44cdot2ln|x| - x^48 + C = x^42ln|x| - x^48 + C

Resposta

dfracx^44ln(x^2) - dfracx^48 + C

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