Calcular a área limitada por:
e o eixo x , para
;
Passo 1
O enunciado pede a área limitada pela curva y=cos(x) e o eixo x no intervalo 0≤x≤π. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais definidas e área sob a curva. Vamos precisar identificar onde cos(x) é positiva ou negativa para usar valor absoluto e depois integrar.
Passo 2
Observamos que cos(x)≥0 em 0≤x≤π/2 e cos(x)≤0 em π/2≤x≤π. Como o enunciado pede a área, devemos calcular ∫₀^π |cos(x)| dx e dividir em dois trechos: de 0 a π/2 (onde |cos(x)|=cos(x)) e de π/2 a π (onde |cos(x)|=-cos(x)).
Passo 3
Calculamos a área no trecho de 0 a π/2: A₁=∫₀^{π/2} cos(x) dx. Aplicando a primitiva de cos(x), que é sin(x), temos
Passo 4
Calculamos a área no trecho de π/2 a π: A₂=∫_{π/2}^{π}(-cos(x)) dx = -∫_{π/2}^{π} cos(x) dx. Usando a mesma primitiva,:
Passo 5
Somamos as duas áreas positivas para obter a área total:
Resposta
2