Calcular a área limitada por:
y=cos (x) e o eixo x , para 0 <= x <= pi;

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva y=cos(x) e o eixo x no intervalo 0≤x≤π. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais definidas e área sob a curva. Vamos precisar identificar onde cos(x) é positiva ou negativa para usar valor absoluto e depois integrar.

Passo 2

Observamos que cos(x)≥0 em 0≤x≤π/2 e cos(x)≤0 em π/2≤x≤π. Como o enunciado pede a área, devemos calcular ∫₀^π |cos(x)| dx e dividir em dois trechos: de 0 a π/2 (onde |cos(x)|=cos(x)) e de π/2 a π (onde |cos(x)|=-cos(x)).

Passo 3

Calculamos a área no trecho de 0 a π/2: A₁=∫₀^{π/2} cos(x) dx. Aplicando a primitiva de cos(x), que é sin(x), temos
A₁ = l[sin(x)r]0^pi2 = sinl(pi2r) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Passo 4

Calculamos a área no trecho de π/2 a π: A₂=∫_{π/2}^{π}(-cos(x)) dx = -∫_{π/2}^{π} cos(x) dx. Usando a mesma primitiva,:
A₂ = -l[sin(x)r]pi2^pi = -l(sin(pi) - sinl(tfracpi2r)r) = -l(0 - 1r) = 1

Passo 5

Somamos as duas áreas positivas para obter a área total:
A = A₁ + A₂ = 1 + 1 = 2

Resposta

2

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