Calcule as integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada termo dentro da integral separadamente e depois somar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes:
Assim, facilitamos a resolução de cada termo individualmente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
A função $ e^{x} $ é uma função exponencial cuja integral é direta. Sabemos que:
Onde $ C $ é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de 0 a 1.
Passo 4
Aplicando os limites na primeira integral:
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, então substituímos e simplificamos.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente. Recordamos que:
Mais uma vez, vamos aplicar os limites de 0 a 1.
Passo 6
Aplicando os limites na segunda integral:
Sabemos que $ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} $ e $ \arctan(0) = 0 $, então:
Passo 7
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral definida é igual a $ e - 1 + \frac{\pi}{4} $.