Calcular a área limitada por:
y=x^2 e y=21+x^2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área limitada pelas curvas y = x² e y = \frac{2}{1 + x²}. O conteúdo aqui é integração definida para área entre curvas, e vamos precisar: achar os pontos de interseção, determinar qual curva está acima, montar o integral e calcular.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões:
x^2 = 21 + x^2
Multiplicando ambos os lados por (1 + x^2) fica
x^2 (1 + x^2) = 2 Longrightarrow x^4 + x^2 - 2 = 0
Fazendo a substituição u = x^2, temos u^2 + u - 2 = 0. As raízes são u = 1 e u = -2 (descartamos u=-2 pois x^2 não é negativa). Então x^2 = 1, isto é, x = pm1.

Passo 3

Entre x=-1 e x=1, a curva y = tfrac21 + x^2 está acima de y = x^2. Assim a área é dada por
integral-1^1 l(21+x^2 - x^2r),dx
Para facilitar, dividimos em duas partes:
integral-1^1 21+x^2,dx - integral-1^1 x^2,dx

Passo 4

A primeira integral é
integral-1^1 21+x^2,dx = 2l[arctan(x)r]-1^1 = 2l(tfracpi4 - (-tfracpi4)r) = pi
A segunda integral é
integral-1^1 x^2,dx = 2 integral0^1 x^2,dx = 2cdot 13 = 23

Passo 5

Portanto, a área limitada é
pi - 23

Resposta

pi - tfrac23

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