Calcule as integrais definidas:
integral0^1 1raiz1+x^2 cdot d x=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida integral0^1 1raiz1+x^2 , dx. Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente integrais que possuem funções com formas de raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da antiderivada da função 1raiz1+x^2, que nos ajuda a encontrar a área sob a curva dessa função entre 0 e 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função 1raiz1+x^2. Sabemos que a antiderivada, ou integral indefinida, desse tipo de função está relacionada às funções hiperbólicas ou aos logaritmos. De fato, temos que:
integral 1raiz1+x^2 , dx = sinh^-1(x) + C
Ou, de forma equivalente usando logaritmos:
integral 1raiz1+x^2 , dx = ln(x + raiz1+x^2) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida de 0 a 1. Isso significa que vamos avaliar a antiderivada nos limites superior e inferior e subtrair os resultados.
Usando a forma com logaritmo:
integral0^1 1raiz1+x^2 , dx = [ ln(x + raiz1+x^2) ]0^1

Passo 4

Vamos agora substituir os limites na expressão:
Primeiro, substituindo x = 1:
ln(1 + raiz1+1^2) = ln(1 + raiz2)
Depois, substituindo x = 0:
ln(0 + raiz1+0^2) = ln(1) = 0

Resposta

Então, a integral definida é:
integral0^1 1raiz1+x^2 , dx = ln(1 + raiz2)

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