Calcule as integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida
. Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente integrais que possuem funções com formas de raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da antiderivada da função
, que nos ajuda a encontrar a área sob a curva dessa função entre 0 e 1.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função
. Sabemos que a antiderivada, ou integral indefinida, desse tipo de função está relacionada às funções hiperbólicas ou aos logaritmos. De fato, temos que:
Ou, de forma equivalente usando logaritmos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 3
Agora que temos a antiderivada, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida de 0 a 1. Isso significa que vamos avaliar a antiderivada nos limites superior e inferior e subtrair os resultados.
Usando a forma com logaritmo:
Passo 4
Vamos agora substituir os limites na expressão:
Primeiro, substituindo
:
Depois, substituindo
:
Resposta
Então, a integral definida é: