Calcular a área limitada por:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de calcular a área limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 2 - x $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de áreas entre curvas, que faz parte do estudo de funções no cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas e depois integrar a diferença entre elas no intervalo definido por esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde $ y = x^{2} $ é igual a $ y = 2 - x $. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar essa equação para resolver para $ x $:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 4
Vamos tentar fatorar a equação $ x^{2} + x - 2 = 0 $. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então, a fatoração fica:
Passo 5
Agora, igualamos cada fator a zero para encontrar as soluções:
Então, os pontos de interseção são $ x = -2 $ e $ x = 1 $.
Passo 6
Em seguida, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de $ x $ entre
e
, por exemplo, $ x = 0 $:
Para $ y = x^{2} $, temos $ y = 0^{2} = 0 $.
Para $ y = 2 - x $, temos $ y = 2 - 0 = 2 $.
Como $ 2 > 0 $, isso significa que $ y = 2 - x $ está acima de $ y = x^{2} $ nesse intervalo.
Passo 7
Agora, sabemos que a área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de $ x = -2 $ a $ x = 1 $. Então:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 10
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de $ x = -2 $ e $ x = 1 $:
Passo 11
Calculando para $ x = 1 $:
Calculando para $ x = -2 $:
Passo 12
Agora, subtraímos os resultados:
Resposta
A área limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 2 - x $ é $ \frac{9}{2} $ unidades de área.