Identifique e esboce as cônicas:
5 y^2-6 x-3 x^2-10 y-13=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a cônica dada por
5y^2 - 6x - 3x^2 - 10y - 13 = 0
Esse é um problema de classificação de cônicas; vamos precisar calcular o discriminante para saber o tipo e depois completar quadrados para obter a forma padrão.

Passo 2

Na forma geral Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 temos:
A = -3, B = 0, C = 5.
O discriminante é
De 0
Como De0, a seção cônica é uma hipérbole.

Passo 3

Vamos completar quadrados. Primeiro agrupar termos de x e y:
-3x^2 - 6x + 5y^2 - 10y - 13 = 0
Fatorando e completando quadrados:
-3(x^2 + 2x) + 5(y^2 - 2y) - 13 = 0,
-3l((x+1)^2 - 1r) + 5l((y-1)^2 - 1r) - 13 = 0,
-3(x+1)^2 + 3 + 5(y-1)^2 - 5 - 13 = 0,
-3(x+1)^2 + 5(y-1)^2 - 15 = 0

Passo 4

Agora dividimos tudo por 15 para obter a forma padrão:
-3(x+1)^2 + 5(y-1)^215 = 1
que vira
-(x+1)^25 + (y-1)^23 = 1,
ou seja
(y-1)^23 - (x+1)^25 = 1

Passo 5

Dessa forma padrão identificamos:
– Centro: (-1,1).
a^2 = 3, b^2 = 5 (logo a = raiz3, b = raiz5).
– Eixos: transverso vertical (abre para cima e para baixo).
– Vértices: l(-1,,1pmraiz3r).
– Assíntotas:
y - 1 = pm ab(x + 1) = pm raiz35,(x + 1)
Para esboçar: marque o centro em (-1,1), os vértices acima e abaixo a distância raiz3, trace as assíntotas e desenhe os dois ramos que seguem essas direções.

Passo 6

No esboço, cada ramo da hipérbole abre verticalmente e “encosta” nas assíntotas à medida que se afasta do centro.

Resposta

A cônica é uma hipérbole com forma padrão
(y-1)^23 - (x+1)^25 = 1,
centro em (-1,1), vértices em (-1,1pmraiz3) e assíntotas
y - 1 = pm raiztfrac35,(x + 1)

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