Calcular a área limitada por:
, para
;
Passo 1
O exercício pede para calcular a área limitada pelas curvas
e
no intervalo de
. Esse é um problema de Cálculo Integral, onde vamos usar integrais definidas para encontrar a área entre duas funções e identificar os pontos de interseção.
Passo 2
Para descobrir onde as funções se cruzam, resolvemos
. Isso dá
, logo
. No intervalo
só aparecem as interseções em
e
.
Precisamos ver qual curva está acima em cada trecho. Em , como
, a curva
está por cima. Em
,
, então
fica acima.
Precisamos ver qual curva está acima em cada trecho. Em
Passo 3
A área total é dada pela soma de duas integrais, subtraindo a função de baixo da de cima em cada intervalo:
$$\int_0^1 (x - x^3),dx ;+
\int_1^2 (x^3 - x),dx$$
Passo 4
Para calcular cada integral, usamos as antiderivadas:
- antiderivada de
é , - antiderivada de
é .
Agora avaliamos em cada intervalo:
Passo 5
Somando as duas partes temos