Calcular a área limitada por:
y=x, y=x^3, para 0 <= x <= 2;

Passo 1

O exercício pede para calcular a área limitada pelas curvas y=x e y=x^3 no intervalo de 0<= x<=2. Esse é um problema de Cálculo Integral, onde vamos usar integrais definidas para encontrar a área entre duas funções e identificar os pontos de interseção.

Passo 2

Para descobrir onde as funções se cruzam, resolvemos x^3 = x. Isso dá x(x^2-1)=0, logo x=0,pm1. No intervalo [0,2] só aparecem as interseções em x=0 e x=1.
Precisamos ver qual curva está acima em cada trecho. Em [0,1], como x^3<= x, a curva y=x está por cima. Em [1,2], x^3,>= x, então y=x^3 fica acima.

Passo 3

A área total é dada pela soma de duas integrais, subtraindo a função de baixo da de cima em cada intervalo:
$$\int_0^1 (x - x^3),dx ;+
\int_1^2 (x^3 - x),dx$$

Passo 4

Para calcular cada integral, usamos as antiderivadas:
  • antiderivada de x é tfrac12 x^2,
  • antiderivada de x^3 é tfrac14 x^4.
    Agora avaliamos em cada intervalo:
integral0^1 (x - x^3),dx = l[tfrac12 x^2 - tfrac14 x^4r]0^1 = tfrac12 - tfrac14 = tfrac14
integral1^2 (x^3 - x),dx = l[tfrac14 x^4 - tfrac12 x^2r]1^2 = (4-2) - (tfrac14 - tfrac12) = 2 - (-tfrac14) = tfrac94

Passo 5

Somando as duas partes temos
tfrac14 + tfrac94 = tfrac104 = tfrac52

Resposta

tfrac52

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