Encontre o volume das quádricas abaixo, encarando-as como superfícies de revolução.
Esfera x^2+y^2+z^2=R^2.

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular o volume da esfera x^2 + y^2 + z^2 = R^2 encarando-a como superfície gerada pela revolução de uma semicircunferência no plano xz. Vamos usar o método dos discos, que dá a fórmula de volume
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
para a curva z = f(x) girada em torno do eixo x.

Passo 2

Da esfera, projetando em y=0, obtemos a semicircunferência
x^2 + z^2 = R^2
ou seja
z = raizR^2 - x^2,
com x variando de -R a R.

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume da esfera é
V = pi integral-R^R l(raizR^2 - x^2r)^2 , dx = pi integral-R^R (R^2 - x^2) , dx

Passo 4

Calculando a integral:
integral-R^R (R^2 - x^2) , dx = R^2 [x]-R^R - l[x^33r]-R^R = 2R^3 - 2R^33 = 4R^33
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V = pi cdot 4R^33 = 4pi R^33

Resposta

4pi R^33

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