Calcular a área limitada por:
y=2 x+x^2 e y=-x;

Passo 1

O problema pede a área limitada pelas curvas y = 2x + x^2 e y = -x. O conteúdo que vamos usar é cálculo de área entre curvas, que envolve achar os pontos de interseção e integrar a diferença entre as funções.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos 2x + x^2 = -x. Reescrevendo, temos
x^2 + 3x = 0
que fatoramos como x(x+3)=0. Logo, os pontos de interseção em x são x=0 e x=-3, correspondendo aos pontos (0,0) e (-3,3).

Passo 3

Precisamos decidir qual curva está acima no intervalo [-3,0]. Escolhendo x=-1, calculemos y1 = 2(-1) + (-1)^2 = -2 + 1 = -1 e y2 = -(-1) = 1. Como y = -x (ou seja, y2) é maior que y = 2x + x^2 nesse intervalo, essa será a função superior.

Passo 4

A área procurada é dada por
A = integral-3^0 l[(-x) - (2x + x^2)r] ,dx = integral-3^0 (-3x - x^2) ,dx
Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Para integrar, encontramos a antiderivada:
F(x) = integral (-3x - x^2),dx = -32x^2 - 13x^3
Agora avaliamos de -3 a 0:
A = F(0) - F(-3) = 0 - l(-272 + 9r) = 92
Logo, a área é tfrac92.

Resposta

tfrac92

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