Identifique e esboce as cônicas:
9 x^2-18 y^2+24 y-26=0

Passo 1

Nesta questão vamos identificar a cônica dada por 9x^2 - 18y^2 + 24y - 26 = 0. O conteúdo envolve classificação de cônicas e transformação para a forma canônica. Para isso, vamos completar o quadrado no termo em y e reescrever a equação de modo a identificar centro, eixos e assíntotas.

Passo 2

Observando os coeficientes de x^2 e y^2: em x^2 o coeficiente é +9 e em y^2 é -18. Como esses sinais são opostos e ambos distintos de zero, concluímos que a cônica é uma hipérbole.

Passo 3

Agrupamos os termos em y para completar o quadrado e reorganizar a equação:
9x^2 - 18y^2 + 24y - 26 = 0
Escrevendo o agrupamento em y:
9x^2 - 18l(y^2 - tfrac43yr) - 26 = 0
Agora, completamos o quadrado em y:
y^2 - tfrac43y = l(y - tfrac23r)^2 - tfrac49
Substituindo no lugar, obtemos:
-18l[l(y - tfrac23r)^2 - tfrac49r] = -18l(y - tfrac23r)^2 + 8
Logo, a equação vira
9x^2 - 18l(y - tfrac23r)^2 + 8 - 26 = 0
Isto é
9x^2 - 18l(y - tfrac23r)^2 - 18 = 0
Dividindo por 18:
tfrac12 x^2 - l(y - tfrac23r)^2 = 1

Passo 4

Colocando na forma canônica da hipérbole, escrevemos:
x^22 , - , (y - tfrac23)^21 = 1
Dessa forma, identificamos:
Centro: (0,,2/3)
a^2 = 2 → a = raiz2
b^2 = 1 → b = 1
Vértices: (pm a,,2/3) = (pmraiz2,,2/3).

Passo 5

As retas assíntotas de x^2a^2 - (y-k)^2b^2=1 são dadas por
y - k = pm ba,x
Aqui temos
y - tfrac23 = pm 1raiz2,x
Para esboçar a hipérbole, desenhe:
  • O centro em (0,2/3).
  • Os vértices em (pmraiz2,2/3).
  • As assíntotas com inclinações pm1/raiz2.
    Depois trace as duas ramificações da hipérbole abrindo-se para a direita e para a esquerda.

Passo 6

Com tudo isso, já temos os principais elementos para o esboço da hipérbole.

Resposta

É uma hipérbole com forma canônica dfracx^22 - dfrac(y - tfrac23)^21 = 1, centro em (0,2/3), vértices em (pmraiz2,2/3) e assíntotas dadas por y - tfrac23 = pm tfrac1raiz2,x.

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