Identifique e esboce as cônicas:
Passo 1
Nesta questão vamos identificar a cônica dada por
. O conteúdo envolve classificação de cônicas e transformação para a forma canônica. Para isso, vamos completar o quadrado no termo em
e reescrever a equação de modo a identificar centro, eixos e assíntotas.
Passo 2
Observando os coeficientes de
e
: em
o coeficiente é +9 e em
é -18. Como esses sinais são opostos e ambos distintos de zero, concluímos que a cônica é uma hipérbole.
Passo 3
Agrupamos os termos em
para completar o quadrado e reorganizar a equação:
Escrevendo o agrupamento em
:
Agora, completamos o quadrado em
:
Substituindo no lugar, obtemos:
Logo, a equação vira
Isto é
Dividindo por 18:
Passo 4
Colocando na forma canônica da hipérbole, escrevemos:
Dessa forma, identificamos:
Centro:
a^2 = 2 → a =
b^2 = 1 → b = 1
Vértices: .
Centro:
a^2 = 2 → a =
b^2 = 1 → b = 1
Vértices:
Passo 5
As retas assíntotas de
são dadas por
Aqui temos
Para esboçar a hipérbole, desenhe:
- O centro em
. - Os vértices em
. - As assíntotas com inclinações
.
Depois trace as duas ramificações da hipérbole abrindo-se para a direita e para a esquerda.
Passo 6
Com tudo isso, já temos os principais elementos para o esboço da hipérbole.
Resposta
É uma hipérbole com forma canônica
, centro em
, vértices em
e assíntotas dadas por
.