Calcular a área da parte do cone
que está no interior do paraboloide
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da parte do cone dado por $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ que está dentro do paraboloide $ 3z = x^{2} + y^{2} $. Isso envolve conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção dessas duas superfícies e usar integrais para calcular a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a curva onde o cone e o paraboloide se interceptam. Isso significa resolver as duas equações simultaneamente:
Substituindo $ x^{2} + y^{2} $ da segunda equação na primeira, temos:
Isso simplifica para:
Portanto, $ z = 0 $ ou $ z = 3 $. Como $ z = 0 $ corresponde ao vértice do cone, a interseção relevante é em $ z = 3 $.
Passo 3
Agora que sabemos que a interseção ocorre em $ z = 3 $, vamos parametrizar o cone. Uma maneira comum é usar coordenadas cilíndricas, onde $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $ e $ z = r $ (já que $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $).
Então, a parametrização do cone fica:
Aqui, $ r $ varia de 0 até o ponto de interseção, que encontramos que $ z = 3 $, então $ r = 3 $.
Passo 4
Para calcular a área da superfície parametrizada, usamos a fórmula da integral de superfície:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, calculamos o produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o determinante:
Sabemos que $ \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1 $, então simplifica para:
Agora, o módulo desse vetor é:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para a área:
Primeiro, integramos em relação a $ r $:
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
A área da parte do cone que está no interior do paraboloide é $ 9\sqrt{2}\pi $ unidades de área.