Calcular a área da parte do cone z^2=x^2+y^2 que está no interior do paraboloide 3 z=x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da parte do cone dado por $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ que está dentro do paraboloide $ 3z = x^{2} + y^{2} $. Isso envolve conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção dessas duas superfícies e usar integrais para calcular a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a curva onde o cone e o paraboloide se interceptam. Isso significa resolver as duas equações simultaneamente:
z^2 = x^2 + y^2 e 3z = x^2 + y^2
Substituindo $ x^{2} + y^{2} $ da segunda equação na primeira, temos:
x^2 + y^2
Isso simplifica para:
z^2 = 3z
Portanto, $ z = 0 $ ou $ z = 3 $. Como $ z = 0 $ corresponde ao vértice do cone, a interseção relevante é em $ z = 3 $.

Passo 3

Agora que sabemos que a interseção ocorre em $ z = 3 $, vamos parametrizar o cone. Uma maneira comum é usar coordenadas cilíndricas, onde $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $ e $ z = r $ (já que $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $).
Então, a parametrização do cone fica:
z = 3
Aqui, $ r $ varia de 0 até o ponto de interseção, que encontramos que $ z = 3 $, então $ r = 3 $.

Passo 4

Para calcular a área da superfície parametrizada, usamos a fórmula da integral de superfície:
Área = integral duplaD | partial rpartial r times partial rpartial theta | dr dtheta Á
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial rpartial r = (costheta, sintheta, 1)
partial rpartial theta = (-rsintheta, rcostheta, 0)
Agora, calculamos o produto vetorial dessas derivadas:
partial rpartial r times partial rpartial theta = i & j & k costheta & sintheta & 1 - rsintheta & rcostheta & 0
Calculando o determinante:
i( sintheta cdot 0 - 1 cdot rcostheta ) - j( costheta cdot 0 - 1 cdot (-rsintheta) ) + k( costheta cdot rcostheta - sintheta cdot (-rsintheta) )
= i(-rcostheta) - j(rsintheta) + k(rcos^2theta + rsin^2theta)
= (-rcostheta, -rsintheta, r(cos^2theta + sin^2theta))
Sabemos que $ \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1 $, então simplifica para:
cos^2theta + sin^2theta = 1
Agora, o módulo desse vetor é:
(-rcostheta, -rsintheta, r)

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para a área:
Área = integral0^2pi integral0^3 rraiz2 , dr , dtheta Á
Primeiro, integramos em relação a $ r $:
r
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
integral0^3 rraiz2 , dr = raiz2 integral0^3 r , dr = raiz2 [ r^22 ]0^3 = raiz2 ( 92 - 0 ) = 9raiz22

Resposta

A área da parte do cone que está no interior do paraboloide é $ 9\sqrt{2}\pi $ unidades de área.

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