Resolva o problema de valor inicial
y^prime=2 cos 2 x /(3+2 y), y(0)=-1

Passo 1

A questão é um problema de valor inicial para a EDO
y(x)
Esse é um caso de EDO separável: vamos separar variáveis, integrar, aplicar a condição inicial e resolver para .

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (3 + 2y),dx:
(3 + 2y),dy = 2cos(2x),dx

Passo 3

Integramos cada lado:
integral (3 + 2y),dy = integral 2cos(2x),dx

Passo 4

Calculando as integrais:
integral (3 + 2y),dy = 3y + y^2,
integral 2cos(2x),dx = sin(2x) + C
Logo:
y^2 + 3y = sin(2x) + C

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0) = -1. Em x=0, sin(0)=0 e

Logo

Passo 6

Substituindo C=-2 na expressão implícita:
y^2 + 3y = sin(2x) - 2

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática em y:
y = -3 pm raiz9 - 4(2 - sin(2x))2 = -3 pm raiz1 + 4sin(2x)2
Para escolher o ramo certo, avaliamos em x=0:
y(0) = -1
+
Como queremos , adotamos o sinal no radical.

Resposta

y(x) = -3 + raiz1 + 4sin(2x)2

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