Resolva o problema de valor inicial
y^prime=2 y^2+x y^2, y(0)=1

Passo 1

No enunciado temos um problema de valor inicial dado por uma equação diferencial ordinária de primeira ordem: y′=2y²+xy² com y(0)=1. O conteúdo é separação de variáveis e vamos precisar usar esse método para resolver.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo a equação como
dydx=y^2,(2+x)
e então
1y^2,dy=(2+x),dx
Esse é o passo-chave do método de separação de variáveis.

Passo 3

Integre os dois lados:
integral y^-2,dy=integral(2+x),dx,
o que dá
-1y=2x+x^22+C

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 em
-1y=2x+x^22+C
temos -1=0+0+C, logo C=-1.

Passo 5

Agora despeje y. A expressão fica
-1y=2x+x^22-1,
portanto
1y=1-2x-x^22
e assim
y=11-2x-x^22

Resposta

A solução do problema de valor inicial é y(x)=11-2x-x^22.

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