Calcule a integral indefinida.
(i) integral(4 cosec x cotg x+2 sec ^2 x) d x

Passo 1

Temos de calcular a integral indefinida integral(4csc x cot x + 2sec^2 x),dx. O conteúdo envolve integrais de funções trigonométricas, em especial as primitivas de csc xcot x e sec^2 x.

Passo 2

Separe a integral em duas partes e fatorar constantes:
integrall(4csc x cot x + 2sec^2 xr),dx = 4integral csc x cot x,dx + 2integral sec^2 x,dx

Passo 3

Calcule integral csc x cot x,dx. Sabendo que
ddx(csc x) = -csc xcot x,
tenhamos
integral csc x cot x,dx = -csc x + C1

Passo 4

Calcule integral sec^2 x,dx. Como
ddx(tan x) = sec^2 x,
obtemos
integral sec^2 x,dx = tan x + C2

Passo 5

Combine os resultados na expressão inicial, somando as constantes em uma só constante C:
4(-csc x) + 2(tan x) + C = -4csc x + 2tan x + C

Resposta

-4csc x + 2tan x + C

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