Calcular a área da região
delimitada por
e
. Calcular pelas duas formas:
a)
(Teorema 1)
b)
(Teorema 2)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede a área da região D limitada pelas curvas x = y² + 1 e x + y = 3. Vamos usar dois modos de integrar: (a) fatiando horizontalmente (Teorema 1) e (b) fatiando verticalmente (Teorema 2).
Passo 2
Para aplicar o Teorema 1, expressamos x como função de y: a curva da esquerda é x₁(y)=y²+1 e a da direita é x₂(y)=3−y. As interseções vêm de y²+1=3−y, ou seja y²+y−2=0, com soluções y=1 e y=−2. Logo y varia de −2 a 1.
A área pelo Teorema 1 é
A área pelo Teorema 1 é
Passo 3
Fazendo a integral temos
Passo 4
No Teorema 2 fatiamos em x. Primeiro notamos que o domínio de x vai de x=1 (vértice da parábola) até x=5 (interseção em y=-2). Mas o limite superior em y muda em x=2, pois ali a linha y=3−x passa a ficar abaixo do ramo y=+√(x-1). Então dividimos em dois trechos:
- Para x∈[1,2], y vem de −√(x−1) até +√(x−1).
- Para x∈[2,5], y vem de −√(x−1) até 3−x.
A área é a soma
Passo 5
Calculando a primeira dá
e a segunda
, cuja soma é
.
Resposta
A área da região D é
.