Calcular a área da região D delimitada por x=y^2+1 e x+y=3. Calcular pelas duas formas:
a) Dx (Teorema 1)
b) Dy (Teorema 2)

Passo 1

O enunciado pede a área da região D limitada pelas curvas x = y² + 1 e x + y = 3. Vamos usar dois modos de integrar: (a) fatiando horizontalmente (Teorema 1) e (b) fatiando verticalmente (Teorema 2).

Passo 2

Para aplicar o Teorema 1, expressamos x como função de y: a curva da esquerda é x₁(y)=y²+1 e a da direita é x₂(y)=3−y. As interseções vêm de y²+1=3−y, ou seja y²+y−2=0, com soluções y=1 e y=−2. Logo y varia de −2 a 1.
A área pelo Teorema 1 é
A=integraly=-2^1l[(3-y)-(y^2+1)r],dy=integral-2^1(2-y-y^2),dy

Passo 3

Fazendo a integral temos
integral(2-y-y^2),dy=2y-tfracy^22-tfracy^33,avaliado de −2 a 1 dá
l(2-tfrac12-tfrac13r)-l(-4-2+tfrac83r)=tfrac76+tfrac103=tfrac276=tfrac92

Passo 4

No Teorema 2 fatiamos em x. Primeiro notamos que o domínio de x vai de x=1 (vértice da parábola) até x=5 (interseção em y=-2). Mas o limite superior em y muda em x=2, pois ali a linha y=3−x passa a ficar abaixo do ramo y=+√(x-1). Então dividimos em dois trechos:
  • Para x∈[1,2], y vem de −√(x−1) até +√(x−1).
  • Para x∈[2,5], y vem de −√(x−1) até 3−x.
    A área é a soma
A=integral1^22raizx-1,dx+integral2^5l[(3-x)+raizx-1r],dx

Passo 5

Calculando a primeira dá 4/3 e a segunda 19/6, cuja soma é 4/3+19/6=27/6=9/2.

Resposta

A área da região D é 9/2.

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