Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o intervalo de convergência?
integral x^2 ln (1+x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^2ln(1+x),dx usando séries de potências, além de determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar a expansão em série de ln(1+x) e integrar termo a termo.

Passo 2

Para |x|<1, a função ln(1+x) tem a expansão em série de potências
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n+1x^nn
Multiplicando ambos os lados por x^2, obtemos
$$
x{2}\ln(1+x)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1}\frac{x{n+2}}{n}.$$
Agora integramos termo a termo:
$$\int x{2}\ln(1+x),dx=\int\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1}\frac{x{n+2}}{n},dx
=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1}\frac{1}{n}\int x^{n+2},dx.$$
E como x^2ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n+1x^n+2n, temos
integral x^2ln(1+x),dx=integralsumn=1^infty(-1)^n+1x^n+2n,dx =sumn=1^infty(-1)^n+11nintegral x^n+2,dx

Passo 3

Para achar o raio de convergência, podemos usar o mesmo raio da série de ln(1+x), que é R=1. Assim, a série converge absolutamente em -1.
Nos extremos: em x=1 a série se torna alternante com termos decrescentes em módulo (ordem 1/n^2), então converge condicionalmente; em x=-1 a série não faz sentido porque ln0 é divergente. Logo o intervalo de convergência é
-1

Resposta

integral x^2ln(1+x),dx=sumn=1^infty(-1)^n+1x^n+3n(n+3)+C, com intervalo de convergência -1.

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