Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o intervalo de convergência?
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando séries de potências, além de determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar a expansão em série de
e integrar termo a termo.
Passo 2
Para
, a função
tem a expansão em série de potências
Multiplicando ambos os lados por
$$
x{2}\ln(1+x)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1}\frac{x{n+2}}{n}.$$
Agora integramos termo a termo:
Agora integramos termo a termo:
$$\int x{2}\ln(1+x),dx=\int\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1}\frac{x{n+2}}{n},dx
=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1}\frac{1}{n}\int x^{n+2},dx.$$
E como , temos
E como
Passo 3
Para achar o raio de convergência, podemos usar o mesmo raio da série de
, que é
. Assim, a série converge absolutamente em
.
Nos extremos: em a série se torna alternante com termos decrescentes em módulo (ordem
), então converge condicionalmente; em
a série não faz sentido porque
é divergente. Logo o intervalo de convergência é
Nos extremos: em