Mostre que
sumn=2^infty 1(ln n)^ln ln n
diverge. [Dica: Use a Fórmula 1.5.10 (x^5=e^ln x), do Capitulo 1, do Volume 1, e o fato de que ln x para x >= 1.]

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a série sumn=2^infty 1(ln n)^lnln n diverge. O conteúdo envolve séries de termos positivos e teste de comparação, e vamos precisar também da fórmula x^y=e^yln x junto com o fato ln x para x>=1.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral usando x^y=e^yln x. Definindo an=1(ln n)^lnln n, temos:
an = (ln n)^-lnln n = e^-lnln n ;ln(ln n) = e^-(lnln n)^2

Passo 3

Agora usamos o fato ln x para x>=1. Tomando x=ln n (que é >=1 quando n>=2), obtemos:
ln(ln n) < raizln n

Passo 4

Elevando ao quadrado, isso dá
(lnln n)^2 < ln n

Passo 5

Logo, para todo n>=2
e^-(lnln n)^2 > e^-ln n = 1n

Passo 6

Como an=e^-(lnln n)^2 e an>1/n, e sabendo que sum 1/n diverge (série harmônica), a série sum an também diverge por comparação simples.

Resposta

A série diverge, pois seu termo geral é maior que 1/n para todo n>=2, e a série harmônica sum 1/n diverge.

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