Mostre que
diverge. [Dica: Use a Fórmula 1.5.10
, do Capitulo 1, do Volume 1, e o fato de que
para
.]
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que a série
diverge. O conteúdo envolve séries de termos positivos e teste de comparação, e vamos precisar também da fórmula
junto com o fato
para
.
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral usando
. Definindo
, temos:
Passo 3
Agora usamos o fato
para
. Tomando
(que é
quando
), obtemos:
Passo 4
Elevando ao quadrado, isso dá
Passo 5
Logo, para todo
Passo 6
Como
e
, e sabendo que
diverge (série harmônica), a série
também diverge por comparação simples.
Resposta
A série diverge, pois seu termo geral é maior que
para todo
, e a série harmônica
diverge.