Calcular a área da região delimitada pelo gráfico da função
e pela reta
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y = x² – 4 (um parágrafo voltado para cima deslocado para baixo) e a reta y = 5 (horizontal). O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, que usamos integrals definidas da diferença entre a função superior e a função inferior.
Passo 2
Para achar onde as curvas se encontram, igualamos as expressões:
Isso dá
Logo, a região está entre x = –3 e x = 3.
Passo 3
Entre x = –3 e x = 3, a reta y = 5 fica acima da parábola y = x² – 4. Então a área A é dada por
Aqui subtrai-se a função inferior (x² – 4) da superior (5).
Passo 4
Simplificamos o integrando:
Portanto
Agora calculamos a integral:
Avaliaremos de –3 a 3.
Passo 5
Aplicando os limites, temos
$$A = \Bigl[9x - \frac{x3}{3}\Bigr]_{-3}{3} = \Bigl(9\cdot3 - \tfrac{3^3}{3}\Bigr) - \Bigl(9\cdot(-3) - \tfrac{(-3)^3}{3}\Bigr).
Portanto, a área da região pedida é 36.
Resposta
36