Calcular a área da região delimitada pelo gráfico da função y=x^2-4 e pela reta y=5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y = x² – 4 (um parágrafo voltado para cima deslocado para baixo) e a reta y = 5 (horizontal). O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, que usamos integrals definidas da diferença entre a função superior e a função inferior.

Passo 2

Para achar onde as curvas se encontram, igualamos as expressões:
x^2 - 4 = 5
Isso dá
x^2 = 9 implies x = pm 3
Logo, a região está entre x = –3 e x = 3.

Passo 3

Entre x = –3 e x = 3, a reta y = 5 fica acima da parábola y = x² – 4. Então a área A é dada por
A = integral-3^3l(5 - (x^2 - 4)r),dx
Aqui subtrai-se a função inferior (x² – 4) da superior (5).

Passo 4

Simplificamos o integrando:
5 - (x^2 - 4) = 9 - x^2
Portanto
A = integral-3^3(9 - x^2),dx
Agora calculamos a integral:
integral(9 - x^2),dx = 9x - x^33
Avaliaremos de –3 a 3.

Passo 5

Aplicando os limites, temos
$$A = \Bigl[9x - \frac{x3}{3}\Bigr]_{-3}{3} = \Bigl(9\cdot3 - \tfrac{3^3}{3}\Bigr) - \Bigl(9\cdot(-3) - \tfrac{(-3)^3}{3}\Bigr).
A = l[9x - x^33r]-3^3 = l(9cdot3 - tfrac3^33r) - l(9cdot(-3) - tfrac(-3)^33r) é (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 - (-18) = 36.$$
Portanto, a área da região pedida é 36.

Resposta

36

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