Dada a função
, determine:
os pontos críticos de
, se existirem, e os intervalos onde
é crescente e onde
é decrescente.
os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{3}}{3} - 400x $ e precisa descobrir dois pontos principais:
- Pontos críticos: onde a função tem máximos ou mínimos.
- Intervalos de crescimento e decrescimento: onde a função está aumentando ou diminuindo.
Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas. As derivadas nos ajudam a entender como a função está mudando em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $.
A função é:
Derivando termo a termo:
Usando as regras de derivação:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a derivada é igual a zero ou não existe.
Como $ f’(x) = x^{2} - 400 $ é uma função polinomial, ela existe para todo $ x $. Então, vamos igualar a derivada a zero:
Resolvendo para $ x $:
Então, temos dois pontos críticos: $ x = 20 $ e $ x = -20 $.
Passo 4
Vamos descobrir onde a função está crescente e decrescente observando o sinal da derivada $ f’(x) $:
- Derivada positiva ($ f’(x) > 0 $): função está crescendo.
- Derivada negativa ($ f’(x) < 0 $): função está decrescendo.
Vamos analisar os intervalos determinados pelos pontos críticos $ x = -20 $ e $ x = 20 $:
-
Para $ x < -20 $:
- Escolha $ x = -21 $:
- $ f’(-21) = (-21)^2 - 400 = 441 - 400 = 41 > 0 $
- Então, $ f(x) $ está crescente nesse intervalo.
-
Para $ -20 < x < 20 $:
- Escolha $ x = 0 $:
- $ f’(0) = 0^2 - 400 = -400 < 0 $
- Então, $ f(x) $ está decrescendo nesse intervalo.
-
Para $ x > 20 $:
- Escolha $ x = 21 $:
- $ f’(21) = 21^2 - 400 = 441 - 400 = 41 > 0 $
- Então, $ f(x) $ está crescente nesse intervalo.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x) = \frac{x^{3}}{3} - 400x $ são $ x = -20 $ e $ x = 20 $. A função é crescente nos intervalos $ (-\infty, -20) $ e $ (20, +\infty) $, e decrescente no intervalo $ (-20, 20) $.