Se
, sabemos que
onde
e
são partições dos intervalos
respectivamente, e
e
. Utilize a fórmula (1) para determinar as seguintes integrais duplas:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla da função
sobre a região
. Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta poderosa para encontrar volumes e outras quantidades em duas dimensões. Para resolver isso, vamos usar a definição de integral dupla que envolve somas de áreas infinitesimais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Isso significa que
varia de 1 a 3 e
varia de 1 a 5. Imagina um retângulo no plano
com esses limites.
Passo 3
Vamos reescrever a integral dupla usando os limites de integração que temos:
Aqui,
representa um pequeno elemento de área na região
, e estamos integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos começar integrando a função
em relação a
, mantendo
constante:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Calculando cada integral separadamente:
- Para
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar
para fora da integral:
- Para
:
Aqui,
também é constante em relação a
:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a
de 1 a 3:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Calculando cada integral separadamente:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Somando os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral dupla
sobre a região
é 152.