Se R=[a, b] times[c, d], sabemos que
integral duplaR f(x, y) d A=lim n, m infty sumi=1^n sumj=1^m f(xi^*, yj^*) De
onde Q1=a=x0 e Q2=c=y0 são partições dos intervalos [a, b] e[c, d] respectivamente, e xi^* in[xi-1, xi] e yj^* in[yj-1, yj]. Utilize a fórmula (1) para determinar as seguintes integrais duplas:
integral duplaR(x y+3 x^2) d A onde R=[1,3] times[1,5].

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla da função sobre a região . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta poderosa para encontrar volumes e outras quantidades em duas dimensões. Para resolver isso, vamos usar a definição de integral dupla que envolve somas de áreas infinitesimais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Isso significa que varia de 1 a 3 e varia de 1 a 5. Imagina um retângulo no plano com esses limites.

Passo 3

Vamos reescrever a integral dupla usando os limites de integração que temos:
integral duplaR (xy + 3x^2) , dA = integralx=1^3 integraly=1^5 (xy + 3x^2) , dy , dx
Aqui, representa um pequeno elemento de área na região , e estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos começar integrando a função integraly=1^5 (xy + 3x^2) , dy em relação a integral1^5 xy , dy + integral1^5 3x^2 , dy , mantendo constante:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Calculando cada integral separadamente:
  1. Para x integral1^5 y , dy = x [ y^22 ]1^5 = x ( 252 - 12 ) = x ( 242 ) = 12x :
Como 3x^2 integral1^5 dy = 3x^2 (5 - 1) = 3x^2 times 4 = 12x^2 é constante em relação a , podemos tirar para fora da integral:
  1. Para :
Aqui, também é constante em relação a :

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
12x + 12x^2
Então, a integral interna resulta em .

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integralx=1^3 (12x + 12x^2) , dx de 1 a 3:
12 integral1^3 x , dx + 12 integral1^3 x^2 , dx
Integrando termo a termo:

Passo 8

Calculando cada integral separadamente:
  1. Para 12 [ x^22 ]1^3 = 12 ( 92 - 12 ) = 12 times 4 = 48 :
12 [ x^33 ]1^3 = 12 ( 273 - 13 ) = 12 times 263 = 104
  1. Para :

Passo 9

Somando os resultados das duas integrais:
48 + 104 = 152

Resposta

O valor da integral dupla sobre a região é 152.

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