Calcule as seguintes integrais:
u) integral x^3 cdot sen(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral x^3,senl(x^2r),dx.
Isso envolve dois conteúdos de cálculo:
  1. Substituição simples para reduzir a composição x^2.
  2. Integração por partes para tratar o produto resultante.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2 Longrightarrow du = 2,x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Como x^3,dx = x^2,(x,dx), temos
x^3,dx = u;du2
e a integral vira
integral x^3,senl(x^2r),dx = 12 integral u,sen(u),du

Passo 3

Para integral u,sen(u),du usamos integração por partes, escolhendo
A = u, dB = sen(u),du, dA = du, B = -cos(u)
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integral u,sen(u),du = A,B - integral B,dA = -ucos(u) - integral l(-cos(u)r),du = -ucos(u) + integral cos(u),du = -ucos(u) + sen(u)

Passo 4

Voltando à metade e à variável x:
12l(-ucos(u)+sen(u)r) + C = -12,ucos(u) + 12,sen(u) + C
e substituindo u=x^2:
-x^22cosl(x^2r) + 12senl(x^2r) + C

Resposta

boxed integral x^3,senl(x^2r),dx = -x^22cosl(x^2r) + 12senl(x^2r) + C

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