- Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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Passo 1
Resumo do enunciado: queremos expandir em série de potências, centrada em zero, a função
e determinar o raio de convergência.
Passo 2
Para resolver, vamos usar a série binomial geral para expoente negativo. Sabemos que, para
, vale:
Aplicando com
, temos
Passo 3
Agora multiplicamos essa série pelo polinômio do numerador
:
Isso gera três séries: uma em
Reorganizando em potências de
Aqui usamos que os coeficientes pares são
e os ímpares
.
Passo 4
O raio de convergência vem da condição original
, ou seja
. Como multiplicamos por polinômio, o raio continua sendo
.
Resposta
A representação em série de potências é
o raio de convergência é