1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. f(x)=1+2 x-x^2(1+x^2)^2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos expandir em série de potências, centrada em zero, a função f(x)=1+2x - x^2(1+x^2)^2 e determinar o raio de convergência.

Passo 2

Para resolver, vamos usar a série binomial geral para expoente negativo. Sabemos que, para |u|<1, vale:
(1+u)^-2=sumn=0^infty(-1)^n(n+1),u^n
Aplicando com u=x^2, temos
(1+x^2)^-2=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)x^2n, |x|<1

Passo 3

Agora multiplicamos essa série pelo polinômio do numerador 1+2x - x^2:
f(x)=(1+2x - x^2)sumn=0^infty(-1)^n(n+1)x^2n
Isso gera três séries: uma em x^2n, outra em x^2n+1 e outra em x^2n+2.
Reorganizando em potências de x e coletando termos de mesmo grau, obtemos
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nl[(2n+1)x^2n+2(n+1)x^2n+1r]
Aqui usamos que os coeficientes pares são (-1)^n(2n+1) e os ímpares 2(-1)^n(n+1).

Passo 4

O raio de convergência vem da condição original |x^2|<1, ou seja |x|<1. Como multiplicamos por polinômio, o raio continua sendo R=1.

Resposta

A representação em série de potências é
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nl[(2n+1)x^2n+2(n+1)x^2n+1r],
o raio de convergência é R=1.

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