Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
10) sumk=0^infty(-1)^k x^2 k(2 k)!=1-x^22!+x^44!-x^66!+ldots

Passo 1

O enunciado nos pede para achar os valores de x para os quais a série sumk=0^infty(-1)^k x^2 k(2 k)! converge absolutamente. O conteúdo envolvido é convergência absoluta de séries e vamos precisar usar o teste da razão.

Passo 2

Para estudar convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos gerada pelos módulos: ak=|x|^2k(2k)!. Se sum ak convergir, então a série original converge absolutamente.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, calculamos
limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty|x|^2(k+1)/(2k+2)!|x|^2k/(2k)! =limktoinfty|x|^2(2k+2)(2k+1) =0

Passo 4

Como o limite é 0, que é menor que 1 para qualquer valor finito de x, a série sum ak converge para todos os x. Portanto, a série original converge absolutamente para todo real x.

Resposta

A série converge absolutamente para todo xinR.

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