Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas na forma paramétrica. Esboce o gráfico.
lx=4 cos t y=2 sen t e lx=cos t y=sen t

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela elipse dada por x=4 cos t e y=2 sen t e pelo círculo dado por x=cos t e y=sen t. O conteúdo é cálculo de área de regiões planas, e vamos precisar usar a forma cartesiana das curvas e a fórmula de área para elipse e para círculo.

Passo 2

A partir das paramétricas, obtemos as equações cartesianas:
x^216+y^24=1
para a elipse de semieixos a=4 e b=2, e
x^2+y^2=1
para o círculo de raio 1.

Passo 3

Para descobrir a região entre as curvas, verificamos que todo ponto do círculo satisfaz
x^216+y^24=x^216+y^24<=x^2+y^24<=14<1,
logo o círculo está inteiramente contido na elipse. Assim, a região limitada é o interior da elipse, excluindo o interior do círculo.

Passo 4

Usando as fórmulas conhecidas: a área da elipse é
Arm elipse=pi a b=picdot4cdot2=8pi,
e a área do círculo é
Arm círculo=pi r^2=picdot1^2=pií

Passo 5

Portanto, a área da região entre elas é a diferença:
A=8pi-pi=7pi

Passo 6

Para esboçar, basta desenhar o círculo de raio 1 e, concêntrica a ele, a elipse com semieixos 4 (eixo x) e 2 (eixo y) no mesmo centro.

Resposta

7pi

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