Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas na forma paramétrica. Esboce o gráfico.
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela elipse dada por x=4 cos t e y=2 sen t e pelo círculo dado por x=cos t e y=sen t. O conteúdo é cálculo de área de regiões planas, e vamos precisar usar a forma cartesiana das curvas e a fórmula de área para elipse e para círculo.
Passo 2
A partir das paramétricas, obtemos as equações cartesianas:
para a elipse de semieixos a=4 e b=2, e
para o círculo de raio 1.
Passo 3
Para descobrir a região entre as curvas, verificamos que todo ponto do círculo satisfaz
logo o círculo está inteiramente contido na elipse. Assim, a região limitada é o interior da elipse, excluindo o interior do círculo.
Passo 4
Usando as fórmulas conhecidas: a área da elipse é
e a área do círculo é
Passo 5
Portanto, a área da região entre elas é a diferença:
Passo 6
Para esboçar, basta desenhar o círculo de raio 1 e, concêntrica a ele, a elipse com semieixos 4 (eixo x) e 2 (eixo y) no mesmo centro.