Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y = x^{2} - x - 2, pelo eixo y = 0 e pelas retas verticais x = -1 e x = 3. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas usando integrais definidas de funções polinomiais.
Passo 2
Para achar onde a parábola cruza o eixo y = 0, resolvemos a equação
Usando a fórmula de Bhaskara obtemos as raízes x = -1 e x = 2.
Passo 3
Precisamos ver em quais trechos a parábola está acima ou abaixo do eixo. Testando um ponto entre -1 e 2 (por exemplo x = 0) temos y(0) = -2 < 0, ou seja, aí a parábola fica abaixo de y = 0. Para x > 2 (até 3) a parábola fica acima do eixo (por exemplo y(3) = 4 > 0).
Passo 4
Logo, a área total é a soma de duas integrais: de x = -1 a x = 2 usamos 0 (topo) menos a parábola (fundo), e de x = 2 a x = 3 usamos a parábola (topo) menos 0 (fundo). Montamos:
Passo 5
Agora calculamos cada integral. Primeiro:
Segundo:
Somando os dois resultados vem A = 9/2 + 11/6 = 19/3.