Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas: y=x^2-x-2 ; y=0 ; x=-1 e x=3

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y = x^{2} - x - 2, pelo eixo y = 0 e pelas retas verticais x = -1 e x = 3. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas usando integrais definidas de funções polinomiais.

Passo 2

Para achar onde a parábola cruza o eixo y = 0, resolvemos a equação
x^2 - x - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara obtemos as raízes x = -1 e x = 2.

Passo 3

Precisamos ver em quais trechos a parábola está acima ou abaixo do eixo. Testando um ponto entre -1 e 2 (por exemplo x = 0) temos y(0) = -2 < 0, ou seja, aí a parábola fica abaixo de y = 0. Para x > 2 (até 3) a parábola fica acima do eixo (por exemplo y(3) = 4 > 0).

Passo 4

Logo, a área total é a soma de duas integrais: de x = -1 a x = 2 usamos 0 (topo) menos a parábola (fundo), e de x = 2 a x = 3 usamos a parábola (topo) menos 0 (fundo). Montamos:
A = integral-1^2 l[0 - (x^2 - x - 2)r] ,dx + integral2^3 l[(x^2 - x - 2) - 0r] ,dx

Passo 5

Agora calculamos cada integral. Primeiro:
integral-1^2(-x^2 + x + 2),dx = l[-tfracx^33 + tfracx^22 + 2xr]-1^2 = l(10/3r) - l(-7/6r) = 9/2
Segundo:
integral2^3(x^2 - x - 2),dx = l[tfracx^33 - tfracx^22 - 2xr]2^3 = l(-3/2r) - l(-10/3r) = 11/6
Somando os dois resultados vem A = 9/2 + 11/6 = 19/3.

Resposta

193

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