Classifique as equações diferenciais ordinárias a seguir quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
y^prime=-2 t(1+y)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) pra analisar:
y^prime = -2 t (1 + y)^2
Nosso objetivo é classificar essa equação quanto à ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de EDOs, como o que define a ordem de uma equação, o que torna uma equação linear ou não, o que é homogeneidade e como identificar os coeficientes.

Passo 2

Ordem da Equação:
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente na equação. Aqui, a equação tem y^prime, que é a primeira derivada de y em relação a t.
Então, a ordem dessa equação é 1.

Passo 3

Linearidade:
Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que todas as potências de y e suas derivadas sejam de primeiro grau (ou seja, elas não são elevadas a nenhuma potência ou multiplicadas entre si).
Vamos analisar a equação:
y^prime = -2 t (1 + y)^2
Aqui, temos (1 + y)^2, que envolve y ao quadrado. Isso significa que a equação não é linear, pois y está elevado a uma potência maior que 1.

Passo 4

Homogeneidade:
Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos podem ser expressos como funções de y e suas derivadas, sem termos livres (ou seja, sem termos que sejam apenas funções de t).
Olhando para a nossa equação:
y^prime = -2 t (1 + y)^2
O lado direito depende de t explicitamente e de y de uma maneira que não permite fatorar um único termo que multiplica todas as funções. Portanto, a equação não é homogênea.

Passo 5

Coeficientes:
Os coeficientes de uma equação diferencial são as funções que multiplicam as derivadas de y. Se os coeficientes são funções apenas da variável independente (neste caso, t), dizemos que a equação tem coeficientes variáveis. Se forem constantes, dizem que têm coeficientes constantes.
Na nossa equação:
y^prime = -2 t (1 + y)^2
O coeficiente que multiplica y^prime é implícito como 1, mas o termo que multiplica (1 + y)^2 é -2t, que depende de t. Portanto, os coeficientes são variáveis.

Resposta

Resumindo a classificação da equação y^prime = -2 t (1 + y)^2:
  • Ordem: 1
  • Linearidade: Não linear
  • Homogeneidade: Não homogênea
  • Coeficientes: Variáveis

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