Classifique as equações diferenciais ordinárias a seguir quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
y^prime=y^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para a gente classificar uma equação diferencial ordinária (EDO) quanto à ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes. A equação que a gente vai analisar é:
y^prime = y^2 - 1
Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e como identificar cada característica na equação. Vamos por partes!

Passo 2

1. Ordem da Equação
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente na equação. Olhando para a nossa equação:
y^prime = y^2 - 1
A derivada mais alta é $ y’ $, que é a primeira derivada de $ y $ em relação a uma variável independente (geralmente $ x $ ou $ t $).
Conclusão: A ordem da equação é 1.

Passo 3

2. Linearidade da Equação
Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
an(x)y^(n) + an-1(x)y^(n-1) + dots + a1(x)y' + a0(x)y = g(x)
onde $ a_i(x) $ são funções das variáveis independentes e $ g(x) $ é uma função conhecida.
No nosso caso:
ai(x)
Temos um termo $ y^{2} $, que não é linear em $ y $. Para ser linear, os termos com $ y $ e suas derivadas devem ser de primeiro grau (ou seja, não podem estar elevados a potências ou multiplicados entre si).
Conclusão: A equação é não linear.

Passo 4

3. Homogeneidade da Equação
Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos da equação são funções homogêneas do mesmo grau, ou seja, se todas as funções podem ser escritas de forma tal que cada termo tem a mesma dimensão ou grau.
No nosso caso:
y^prime = y^2 - 1
A equação não é homogênea porque temos um termo constante (-1) que não depende de $ y $ e um termo $ y^{2} $. Para ser homogênea, todos os termos deveriam ter a mesma relação com $ y $.
Conclusão: A equação é não homogênea.

Passo 5

4. Coeficientes da Equação
Os coeficientes de uma equação diferencial são as funções que multiplicam cada termo de $ y $ e suas derivadas.
Na nossa equação:
y
Podemos reescrever para identificar os coeficientes:
y^prime = y^2 - 1
Aqui, o coeficiente de $ y’ $ é 1, o coeficiente de $ y^{2} $ é -1, e o termo constante é 1. Como os coeficientes não são constantes e envolvem termos não lineares, eles variam conforme $ y $.
Conclusão: Os coeficientes são não constantes e variáveis.

Resposta

  • Ordem: 1
  • Linearidade: Não linear
  • Homogeneidade: Não homogênea
  • Coeficientes: Não constantes e variáveis

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