Resolva as integrais pelo método da substituição trigonométrica
integral x^3raiz9-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3raiz9-x^2 dx usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios do segundo grau, tipo raiza^2 - x^2. Vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica apropriada. Aqui temos raiz9 - x^2, o que sugere que usamos x = 3 sintheta. Isso porque raiz9 - x^2 = 3 costheta, facilitando a simplificação.

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = 3 sintheta. Agora, precisamos expressar dx em termos de theta:
dx = 3 costheta dtheta.

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original:
integral (3 sintheta)^3raiz9 - (3 sintheta)^2 cdot 3 costheta dtheta
Simplificando:
integral 27 sin^3theta3 costheta cdot 3 costheta dtheta = integral 27 sin^3theta dtheta

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral 27 sin^3theta dtheta. Podemos usar a identidade sin^3theta = sintheta (1 - cos^2theta) para facilitar:
27 integral sintheta (1 - cos^2theta) dtheta

Passo 6

Vamos fazer outra substituição: seja u = costheta, então du = -sintheta dtheta. A integral fica:
27 integral (1 - u^2)(-du) = 27 integral (u^2 - 1) du = 27 ( u^33 - u ) + C
Substituindo u = costheta:
27 ( cos^3theta3 - costheta ) + C = 9 cos^3theta - 27 costheta + C

Passo 7

Agora, voltamos para a variável x. Sabemos que x = 3 sintheta, então costheta = raiz1 - sin^2theta = raiz1 - x^29 = raiz9 - x^23.
Substituindo na expressão:
9 ( raiz9 - x^23 )^3 - 27 ( raiz9 - x^23 ) + C = 9 (9 - x^2)^3/227 - 9 raiz9 - x^2 + C
Simplificando:
(9 - x^2)^3/23 - 9 raiz9 - x^2 + C

Resposta

A integral integral x^3raiz9-x^2 dx é igual a (9 - x^2)^3/23 - 9 raiz9 - x^2 + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados