Forneça os exemplos abaixo.
Dois conjuntos abertos cuja interseção é um conjunto fechado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fornecer dois conjuntos abertos cuja interseção seja um conjunto fechado. Aqui estamos lidando com conceitos de topologia, especificamente os conjuntos abertos e fechados. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que é um conjunto aberto, um conjunto fechado e como a interseção desses conjuntos funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto aberto. Em termos simples, num espaço como a reta numérica $ \mathbb{R} $, um conjunto aberto é aquele que não inclui seus pontos de fronteira. Por exemplo, o intervalo $ (0, 2) $ é aberto porque não inclui os pontos 0 e 2.

Passo 3

Agora, um conjunto fechado é o oposto: ele inclui todos os seus pontos de fronteira. Por exemplo, o intervalo $ [1, 3] $ é fechado porque inclui os pontos 1 e 3.

Passo 4

Queremos dois conjuntos abertos cuja interseção seja fechada. Uma forma fácil de conseguir isso é pensar em conjuntos abertos que não tenham sobreposição, ou seja, cuja interseção seja vazia. O conjunto vazio $ \emptyset $ é considerado fechado.

Passo 5

Vamos construir dois exemplos simples na reta $ \mathbb{R} $:
  • Seja $ A = (0, 1) $, que é um conjunto aberto.
  • Seja $ B = (2, 3) $, que também é um conjunto aberto.

Passo 6

Agora, vamos ver a interseção de $ A $ e $ B $:
A
Como a interseção deu o conjunto vazio, que é fechado, atendemos ao que o exercício pede.

Resposta

Dois exemplos de conjuntos abertos cuja interseção é um conjunto fechado são:
A = (0, 1)
B = (2, 3)
A interseção $ A \cap B = \emptyset $, que é um conjunto fechado.

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