Forneça os exemplos abaixo.
Dois conjuntos abertos cuja interseção é um conjunto fechado.
Dois conjuntos abertos cuja interseção é um conjunto fechado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fornecer dois conjuntos abertos cuja interseção seja um conjunto fechado. Aqui estamos lidando com conceitos de topologia, especificamente os conjuntos abertos e fechados. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que é um conjunto aberto, um conjunto fechado e como a interseção desses conjuntos funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto aberto. Em termos simples, num espaço como a reta numérica $ \mathbb{R} $, um conjunto aberto é aquele que não inclui seus pontos de fronteira. Por exemplo, o intervalo $ (0, 2) $ é aberto porque não inclui os pontos 0 e 2.
Passo 3
Agora, um conjunto fechado é o oposto: ele inclui todos os seus pontos de fronteira. Por exemplo, o intervalo $ [1, 3] $ é fechado porque inclui os pontos 1 e 3.
Passo 4
Queremos dois conjuntos abertos cuja interseção seja fechada. Uma forma fácil de conseguir isso é pensar em conjuntos abertos que não tenham sobreposição, ou seja, cuja interseção seja vazia. O conjunto vazio $ \emptyset $ é considerado fechado.
Passo 5
Vamos construir dois exemplos simples na reta $ \mathbb{R} $:
- Seja $ A = (0, 1) $, que é um conjunto aberto.
- Seja $ B = (2, 3) $, que também é um conjunto aberto.
Passo 6
Agora, vamos ver a interseção de $ A $ e $ B $:
Como a interseção deu o conjunto vazio, que é fechado, atendemos ao que o exercício pede.
Resposta
Dois exemplos de conjuntos abertos cuja interseção é um conjunto fechado são:
A interseção $ A \cap B = \emptyset $, que é um conjunto fechado.