Calcule as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
integral raiz4-x^2x d x

Passo 1

Resumo do enunciado e do método: Você precisa calcular a integral integral raiz4 - x^2x,dx usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral envolvendo raiza^2 - x^2 costuma usar a mudança x = asintheta. Aqui, a = 2. Vamos precisar expressar raiz4 - x^2, dx e lembrar identidades como cos^2theta = 1 - sin^2theta.

Passo 2

Fazendo a substituição x = 2sintheta: então
raiz4 - x^2 = raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta,
e
dx = 2costheta,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral raiz4 - x^2x,dx = integral 2costheta2sintheta cdot (2costheta,dtheta) = integral 4cos^2theta2sintheta,dtheta = integral 2cos^2thetasintheta,dtheta

Passo 4

Usando a identidade cos^2theta = 1 - sin^2theta:
integral 2cos^2thetasintheta,dtheta = 2integral 1 - sin^2thetasintheta,dtheta = 2integral l(csctheta - sinthetar),dtheta

Passo 5

Integração termo a termo:
  • integral csctheta,dtheta = -ln|csctheta + cottheta| + C1.
  • integral sintheta,dtheta = -costheta + C2.
    Logo,
2integral (csctheta - sintheta),dtheta = -2ln|csctheta + cottheta| + 2costheta + C

Passo 6

Voltando para x: temos sintheta = tfracx2 e costheta = tfracraiz4 - x^22. Assim,
csctheta = 1sintheta = 2x, cottheta = costhetasintheta = raiz4 - x^2x
Substituindo na primitiva:
-2ln|csctheta + cottheta| + 2costheta = -2lnl|tfrac2 + raiz4 - x^2xr| + raiz4 - x^2

Passo 7

Simplificando o log e escrevendo o resultado final numa forma mais compacta:
-2lnl|tfrac2 + raiz4 - x^2xr| = -2ln|2 + raiz4 - x^2| + 2ln|x|,
o que nos leva a
raiz4 - x^2 + 2ln!l|tfracx2 + raiz4 - x^2r| + C

Resposta

raiz4 - x^2 + 2 ln!l|x2 + raiz4 - x^2r| + C

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