Calcule as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
integral x^2raiz4+x^2 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral integral x^2raiz4+x^2,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é integrar funções que envolvem raiza^2+x^2, e vamos precisar usar a substituição x=2tantheta, além das fórmulas de integração de sectheta e sec^3theta.

Passo 2

Escolhemos a substituição x = 2tantheta. Assim, temos:
x = 2tantheta, dx = 2sec^2theta,dtheta, raiz4+x^2 = 2sectheta, x^2 = 4tan^2theta

Passo 3

Substituindo na integral,
integral x^2raiz4+x^2,dx = integral 4tan^2theta2sectheta cdot 2sec^2theta,dtheta =4integral tan^2thetasectheta,dtheta =4integral (sec^3theta - sectheta),dtheta

Passo 4

Agora integramos cada termo separadamente. Sabemos que
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta+tanthetar|+C1,
integral sec^3theta,dtheta = tfrac12l(secthetatantheta + lnl|sectheta+tanthetar|r)+C2

Passo 5

Logo,
4integral(sec^3theta - sectheta),dtheta =4l[tfrac12(secthetatantheta + ln|sectheta+tantheta|) - ln|sectheta+tantheta|r]+C =2secthetatantheta -2ln|sectheta+tantheta|+C

Passo 6

Agora voltamos à variável x. Temos
sectheta = raiz4+x^22, tantheta = x2, sectheta+tantheta = raiz4+x^2+x2

Passo 7

Substituindo e simplificando (absorvendo constantes em C):
2secthetatantheta = xraiz4+x^22, -2lnl|sectheta+tanthetar| = -2lnl|x+raiz4+x^2r| + C'

Resposta

xraiz4+x^22 - 2lnl|x+raiz4+x^2r| + C

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