Calcular a área da região limitada por:
y^3=x, y=1 e x=8

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y^3 = x, y = 1 e x = 8. Esse é um problema de cálculo de área de regiões planas usando integrais definidas. Para resolver, vamos expressar a região e montar a integral adequada.

Passo 2

Primeiro, encontramos onde as fronteiras se cruzam. A reta y = 1 intersecta a curva y^3 = x em x = 1, formando o ponto (1,1). A reta x = 8 intersecta a curva em y^3 = 8, ou seja y = 2, dando o ponto (8,2). Assim, a região varia em y de 1 até 2.

Passo 3

Para cada valor de y entre 1 e 2, o x da região vai de x = y^3 (limite esquerdo) até x = 8 (limite direito). A área de uma faixa infinitesimal de altura dy é a base (8 - y^3) vezes dy. Logo, a área total é dada por
A = integraly=1^2 (8 - y^3), dy

Passo 4

Vamos calcular a integral separando em duas partes:
integral1^2 8, dy = 8y |1^2 = 8cdot2 - 8cdot1 = 8,
integral1^2 y^3, dy = y^44 |1^2 = 164 - 14 = 154

Passo 5

Subtraindo as duas partes obtemos
A = 8 - 154 = 324 - 154 = 174

Resposta

174

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