Calcule as seguintes integrais usando a técnica de frações parciais:
integral d xx(x^2+4)

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral dxx(x^2+4) usando o método de frações parciais. O conteúdo aqui é integração de funções racionais, em que primeiro decompondo a fração e depois integrando cada termo separadamente.

Passo 2

Para decompor em frações parciais, escrevemos
1x(x^2+4) = Ax + Bx + Cx^2+4
Multiplicando ambos os lados por x(x^2+4) e igualando numeradores, temos
$$
1 = A(x^2+4) + (Bx + C)x
1 = A(x^2+4) + (Bx + C)x ê
1 = A x^2 + 4A + B x^2 + C x = (A+B)x^2 + C x + 4A
$$
Igualando os coeficientes de cada potência de x:
- Coeficiente de 1 = A x^2 + 4A + B x^2 + C x = (A+B)x^2 + C x + 4A : x
- Coeficiente de x^2: A + B = 0
- Termo constante: x
Logo C = 0, 4A = 1 e A = tfrac14.

Passo 3

Reescrevendo a integral com esses valores:
integral dxx(x^2+4) = integral l(1/4x - 1/4,xx^2+4r)dx
Separamos em duas integrais:
14 integral dxx , - , 14 integral x,dxx^2+4
A primeira é imediata:
14 integral dxx = 14 ln|x|
Na segunda, usamos u = x^2 + 4, logo du = 2x,dx, e
integral x,dxx^2+4 = 12 ln(x^2+4)
Portanto a integral completa é
14 ln|x| - 14 cdot 12 ln(x^2+4) + C = 14 ln|x| - 18 ln(x^2+4) + C

Resposta

14ln|x| - 18ln(x^2+4) + C

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