Calcule as seguintes integrais usando a técnica de frações parciais:
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral
usando o método de frações parciais. O conteúdo aqui é integração de funções racionais, em que primeiro decompondo a fração e depois integrando cada termo separadamente.
Passo 2
Para decompor em frações parciais, escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
$$
1 = A(x^2+4) + (Bx + C)x
1 = A x^2 + 4A + B x^2 + C x = (A+B)x^2 + C x + 4A
$$
Igualando os coeficientes de cada potência de :
- Coeficiente de :
- Coeficiente de :
- Termo constante:
Logo ,
e
.
Igualando os coeficientes de cada potência de
- Coeficiente de
- Coeficiente de
- Termo constante:
Logo
Passo 3
Reescrevendo a integral com esses valores:
Separamos em duas integrais:
A primeira é imediata:
Na segunda, usamos
Portanto a integral completa é