Calcular a área da região plana exterior ao circulo x^2+y^2= 8 x e interior ao circulo x^2+y^2=12 x, limitada pelas retas y =x e y=-x.

Passo 1

O exercício pede a área da região que fica fora do círculo x^2+y^2=8x e dentro do círculo x^2+y^2=12x, limitada pelas retas y=x e y=-x. O conteúdo principal aqui é cálculo de área em coordenadas polares usando integração dupla. Vamos precisar reescrever as curvas e as retas em termos de r e theta e montar a integral adequada.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos x=rcostheta e y=rsintheta. As retas viram theta=pi/4 e theta=-pi/4. Os círculos ficam:
r^2 = 8rcostheta implies r = 8costheta,
r^2 = 12rcostheta implies r = 12costheta
Perceba que, para theta entre -pi/4 e pi/4, temos costheta>=0, então essas são as fronteiras em r.

Passo 3

A área em polares é
A = integraltheta=-pi/4^pi/4 integralr=8costheta^12costheta r,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral8costheta^12costheta r,dr = 12l[(12costheta)^2 - (8costheta)^2r] = 12(144-64)cos^2theta = 40cos^2theta
Então
A = integral-pi/4^pi/4 40cos^2theta,dtheta

Passo 5

Usando cos^2theta = tfrac1+cos2theta2:
A = 40 integral-pi/4^pi/4 cos^2theta,dtheta = 20 integral-pi/4^pi/4 (1+cos2theta),dtheta

Passo 6

Calculando:
integral-pi/4^pi/4 1,dtheta = pi2, integral-pi/4^pi/4 cos2theta,dtheta = l[tfrac12sin2thetar]-pi/4^pi/4 = 1
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A = 20l(pi2 + 1r) = 10pi + 20

Resposta

10pi + 20

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