Calcular o trabalho realizado pela força
,
ao longo da curva
de
, 0) a (
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do trabalho de uma força dependente da posição, ou seja, um integral de linha do tipo
. Aqui o conteúdo é integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva suave, e vamos precisar usar a parametrização da curva, a definição de trabalho
, além de técnicas de integração como substituição e partes.
Passo 2
A curva é dada por
e liga o ponto
ao ponto
. Para achar o intervalo de parâmetro, fazemos
e
, o que dá
. No ponto inicial
temos
. Então o trabalho é subtraído de
até
e precisamos da derivada da curva:
Passo 3
Substituímos na integranda:
F(\gamma(t))=(\cos t\sin t,,3\cdot(2t),,1)=(\cos t\sin t,,6t,,1)
e fazemos o produto escalar com
:
Passo 4
Precisamos então calcular
Separa em três integrais:
(1) I₁= usa substituição
,
(2) I₂= usa integração por partes,
(3) I₃= .
(1) I₁=
(2) I₂=
(3) I₃=
Passo 5
Calculando cada uma:
I₁: com
,
, limites
,
, temos
I₂: com partes, tomamos
dando
,
Passo 6
Somando tudo: