Calcular o trabalho realizado pela força F(x, y, z)=(xy, 3 z, 1) ao longo da curva gamma(t)=(cos t, sen t, 2 t) de (1,0, 0) a ( 0,1, pi).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do trabalho de uma força dependente da posição, ou seja, um integral de linha do tipo W=integralgamma Fcdot ,dr. Aqui o conteúdo é integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva suave, e vamos precisar usar a parametrização da curva, a definição de trabalho W=integrala^b F(gamma(t))cdot gamma'(t),dt, além de técnicas de integração como substituição e partes.

Passo 2

A curva é dada por gamma(t)=(cos t,,sin t,,2t) e liga o ponto (1,0,0) ao ponto (0,1,pi). Para achar o intervalo de parâmetro, fazemos cos t=0,sin t=1 e 2t=pi, o que dá t=tfracpi2. No ponto inicial (1,0,0) temos t=0. Então o trabalho é subtraído de t=0 até t=tfracpi2 e precisamos da derivada da curva:
gamma'(t)=(-sin t,,cos t,,2)

Passo 3

Substituímos na integranda:
F(\gamma(t))=(\cos t\sin t,,3\cdot(2t),,1)=(\cos t\sin t,,6t,,1)
e fazemos o produto escalar com gamma'(t):
F(gamma(t))cdotgamma'(t)= (cos tsin t)(-sin t)+6t(cos t)+1cdot2 = -sin^2tcos t+6tcos t+2

Passo 4

Precisamos então calcular
W=integral0^pi/2l(-sin^2tcos t+6tcos t+2r),dt
Separa em três integrais:
(1) I₁= integral0^pi/2-sin^2tcos t,dt usa substituição u=sin t,
(2) I₂= integral0^pi/26tcos t,dt usa integração por partes,
(3) I₃= integral0^pi/22,dt=pi.

Passo 5

Calculando cada uma:
I₁: com u=sin t, du=cos t,dt, limites u(0)=0, u(pi/2)=1, temos
I₁=-integral0^1u^2,du=-l[tfracu^33r]0^1=-tfrac13
I₂: com partes, tomamos a=6t,,db=cos t,dt dando da=6,dt,,b=sin t,
I₂=[6tsin t]0^pi/2-integral0^pi/26sin t,dt=3pi-6

Passo 6

Somando tudo:
W=I₁+I₂+I₃=-tfrac13+(3pi-6)+pi=4pi-6-tfrac13=4pi-tfrac193

Resposta

4pi-tfrac193

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